Question

问题：如图，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．试探

问题：如图，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．试探究PG与PC的位置关系及 PG PC 的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及 PG PC 的值；（要有具体过程）（2）若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD≌矩形BEFG”其它条件不变，画图试探求线段PG与PC的关系．

Answer 1

（1）如图1，当点A，B，E在同一条直线上时，有结论：PG⊥PC，PG=PC． 延长GP交DC与点H． ∵P是线段DF的中点， ∴FP=DP． 由题意知DC ∥ AE， ∴∠GFP=∠HDP， ∵∠GPF=∠HPD， ∴△GFP≌△HDP， ∴GP=HP，GF=HD， ∵四边形ABCD、BEFG是正方形， ∴CD=CB，GB=GF． ∴CH=CG， 又∵∠HCG=90°，GP=HP， ∴PG⊥PC，PG=PC； （2）如图2，当点A，B，E在同一条直线上时，有结论：PG⊥PC，PG=PC 延长GP交DC延长线于点H． ∵P是线段DF的中点， ∴FP=DP． 由题意可知DC ∥ GF， ∴∠GFP=∠HDP， ∵∠GPF=∠HPD， ∴△GFP≌△HDP， ∴GP=HP，GF=HD， ∵矩形ABCD≌矩形BEFG， ∴CD=GB，CB=GF， ∴CH=CG 又∵∠HCG=90°，GP=HP， ∴PG⊥PC，PG=PC．