Question

设函数f（x）=（x2+ax+a）?e-x，其中x∈R，a是实数常数，e是自然对数的底数．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在

设函数f（x）=（x2+ax+a）?e-x，其中x∈R，a是实数常数，e是自然对数的底数．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）的极大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=（x²+2x+2）e^-x；f′（x）=-x²e^-x
当x=-1时，f′（-1）=-e，f（-1）=e
∴f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为y=-ex；
（Ⅱ）f′（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]
令f′（x）=0，得x=0或x=2-a，
分三种情况讨论：
①、a＞2时，2-a＜0，
分析可得，x=0时，f（x）取得极大值，
有f（x）_极大=（0）=a?e^-0=2，解可得a=2，
又由a＞2，此时无解；
②、a=2时，2-a=0，f′（x）≤0，
f（x）不存在极大值，不合题意；
③、a＜2时，2-a＞0，

由表可知f（x）_极大=f（2-a）=（4-a）e^a-2=2^，
又由a＜2，也无解；
故不存在实数a，使得f（x）的极大值为2．