Question

如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合

如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为 2 ．其中正确的结论是（　　） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④

Answer 1

①当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项正确； ②①连接CD； ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB； ∵在△ADE和△CDF中， AE=CF ∠A=∠DCF AD=CD ∴△ADE≌△CDF（SAS）； ∴ED=DF，∠CDF=∠EDA； ∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°， ∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确； ③∵△ADE≌△CDF， ∴S △ADE =S △CDF ． ∵S 四边形CEDF =S △CED +S △CFD ， ∴S 四边形CEDF =S △CED +S △AED ， ∴S 四边形CEDF =S △ADC ． ∵S △ADC = 1 2 S △ABC =4． ∴四边形CEDF的面积是定值4，故本选项正确； ④④△DEF是等腰直角三角形， 2 DE=EF， 当EF ∥ AB时，∵AE=CF， ∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线， ∴EF取最小值= 2 2 + 2 2 =2 2 ， ∵CE=CF=2， ∴此时点C到线段EF的最大距离为 1 2 EF= 2 ．故此选项正确． 故选D．