Question

如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，　AD与BE交于点O

如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，　AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（ ） A．PQ∥AE B．AP=BQ C．DE="DP" D．∠AOB=60°．

Answer 1

C

分析： 根据等边三角形的性质可证∠DCB=60°，由三角形内角和外角定理可证∠DPC＞60°，所以DP≠DE． 解： 已知△ABC、△DCE为正三角形， 故∠DCE=∠BCA=60°，∴∠DCB=60°， 又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°，∴∠DPC＞60°， 故DP不等于DE，C错． ∵△ABC、△DCE为正三角形， ∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD=∠CBE， ∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB， ∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°， ∴∠AOB=60°，故D正确； ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°， ∴∠ACP=∠BCQ， ∵AC=BC，∠DAC=∠QBC， ∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴AP=BQ，故B正确； ∴CP=CQ， ∵∠PCQ=60°， ∴∠QPC=60°=∠ACB， ∴PQ∥AE，故A正确． 故选C．