Question

设函数f(x)=x 3 +ax 2 +bx(x＞0)的图象与直线y=4相切于M(1，4)。（Ⅰ）求f(x)=x 3 +ax 2 +bx在区间(0，4]

设函数f(x)=x 3 +ax 2 +bx(x＞0)的图象与直线y=4相切于M(1，4)。（Ⅰ）求f(x)=x 3 +ax 2 +bx在区间(0，4]上的最大值与最小值；（Ⅱ）设存在两个不等正数s，t(s＜t)，当x∈[s，t]时，函数f(x)=x 3 +ax 2 +bx的值域是[ks，kt]，求正数k的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）f′(x)=3x 2 +2ax+b， 依题意，有： ，即 ， 解得： , 所以，f(x)=x 3 -6x 2 +9x， f′(x)=3x 2 -12x+9=3(x-1)(x-3)， 由f′(x)=0可得x=1或x=3， f′(x)，f(x)在区间(0，4]上的变化情况为： x 0 （0，1） 1 （1，3） 3 （3，4） 4 f′(x)   + 0 - 0 +   f(x) 0 增函数 4 减函数 0 增函数 4 所以函数f(x)=x 3 -6x 2 +9x在区间（0，4]上的最大值是4，最小值是0。 （Ⅱ）由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点(3，0)不在区间[s，t]上； ①若极值点M(1，4)在区间[s，t]上，此时0＜s≤1≤t＜3， 故有(i) 或(ii) ， (i)由k= ，1≤t＜3知，k∈( ，4]，当且仅当t=1时，k=4； 再由k=(s-3) 2 ，0＜s≤1知，k∈[4，9)，当且仅当s=1时，k=4； 由于s≠t，故不存在满足要求的k值． (ii)由 ，及0＜s≤1可解得2≤t＜3， 所以k= ，2≤t＜3知，k∈( ，2]； 即当k∈( ，2]时，存在t= ∈[2，3)， ∈(0，1]， 且f(s) ≥4s= f(t) ＞f(t)，满足要求。 ②若函数f(x)在区间[s，t]上单调递增，则0＜s＜t＜1或3＜s＜t，且 ， 故s，t是方程x 2 -6x+9=k的两根， 由于此方程两根之和为3，故[s，t]不可能同在一个单调增区间内； ③若函数f(x)在区间[s，t]上单调递减，则1＜s＜t＜3， ， 两式相减并整理得s 2 (s-3) 3 =t 2 (t-3) 2 ， 由1＜s＜t＜3知s(s-3)=t(t-3)，即s+t=3， 再将两式相减并除以s-t，得 -k=(s 2 +st+t 2 )-6(s+t)+9=(s+t) 2 -6(s+t)+9-st=-st，即k=st， 所以s，t是方程x 2 -3x+k=0的两根， 令g(x)=x 2 -3x+k， 则 ， 解得2＜k＜ ，即存在s= ，t= 满足要求。 综上可得，当 ＜k＜ 时，即k∈（ ， ）时，存在两个不等正数s，t(s＜t)，使x∈[s，t]时，函数f(x)=x 3 -6x 2 +9x的值域恰好是[ks，kt]。