Question

已知数列{an}的前n项和为Sn=3n-n2，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式an；（Ⅱ）设bn=2n，求数列{anbn}的前n项和Tn

已知数列{an}的前n项和为Sn=3n-n2，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式an；（Ⅱ）设bn=2n，求数列{anbn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为S_n=3n-n²，n∈N^*，
∴a₁=S₁=3-1=2，
当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1
=（3n-n²）-[3（n-1）-（n-1）²]
=4-2n．
当n=1时，4-2n=2=a₁，
∴a_n=4-2n，n∈N^*．
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，
∵an=4-2n，bn=2n，
∴cn=(4-2n)?2n，
∴T_n=2?2+0?2²+（-2）?2³+（-4）?2⁴+…+（4-2n）?2ⁿ，①
2Tn=2?22+0?2³+（-2）?2⁴+…+（4-2n）?2ⁿ⁺¹，②
②-①，得：
T_n=-2?2+2?2²+2?2³+2?2⁴+…+2?2ⁿ+（4-2n）?2ⁿ⁺¹
=-4+

8(1-2n-1)

1-2

+（4-2n）?2ⁿ⁺¹
=-4+2ⁿ⁺²-8+2ⁿ⁺³-n?2ⁿ⁺²
=（3-n）?2ⁿ⁺²-12．