Question

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C与直线L1：y=-x的一个交点的横坐标为4．（Ⅰ）求抛物线C

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C与直线L1：y=-x的一个交点的横坐标为4．（Ⅰ）求抛物线C的方程．（Ⅱ）过点F任作直线L与曲线C交于A，B两点，由点A，B分别向（x-1）2+y2=14各引一条切线，切点分别为P，Q，记α=∠AFP，β=∠BFQ，求证：cosα+cosβ为定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵抛物线C与直线L₁：y=-x的一个交点的横坐标为4，
∴交点坐标为（4，-4），
代入抛物线C：y²=2px，可得p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）证明：当l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），
代入抛物线方程得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2k²+4，x₁x₂=1
∵cosα+cosβ=

|FP|

|AF|

+

|FQ|

|BF|

=

1 2

x1+1

+

1 2

x2+1

=

1

2

，
当l与x轴垂直时，cosα+cosβ=

1

2

，
综上，cosα+cosβ=

1

2

．