Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）已知CD=62，求AC的长；

如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）已知CD=62，求AC的长；（2）求证：AB-AC=CD．

Answer 1

（1）∵∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=CD=6

2

，
∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠EDB=∠B=45°，
∴sin∠B=sin45°=

DE

BD

=

2

2

，
∴BD=6

2

×

2

=12，
∴AC=BC=CD+BD=12+6

2

；

（2）∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴∠ADC=∠ADE，
∴AE=AC，
∵CD=DE，DE=BE，
∴CD=BE，
∴AB-AC=AB-AE=BE=CD，
即：AB-AC=CD．