Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角尺ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C（-1

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角尺ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C（-1，O），如图所示，抛物线y= ax 2 +ax-2经过点B． (l)求点B的坐标； (2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)过点B作BD⊥x轴，垂足为点D．     ∵∠BCD+ ∠ACO= 90°，∠ACO十∠CAO=90°， ∴∠BCD=∠CAO．     又∵∠BDC=∠COA=90．CB= AC．     ∴△BCD≌△CAO，     ∴BD=OC=1，CD=OA=2．     ∴点B的坐标为（-3，1）．     (2)抛物线y=ax 2 +ax-2经过点B（-3，1），则1= 9a-3a-2．    解得a= ， 所以抛物线的解析式为y= ．     (3)存在，假设存在点P．使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形，     ①若以点C为直角顶点，则延长BC至点P 1 ，使得P 1 C= BC，得到等腰直角三角形ACP 1 ，过点P l 作P 1 M⊥x轴，     ∵C P1=BC，∠MC P 1 =∠BCD，∠P 1 MC=∠BDC=90°， ∴△M P 1 C≌△DBC.   ∵CM=CD=2．P 1 M= BD=1，可求得点P 1 （1，一1）；     ②若以点A为直角顶点，则过点A作A P 2 ⊥CA，且使得A P 2 =AC， 得到等腰直角三角形AC P 2 ，过点P 2 作P 2 ⊥y轴，同理可证△A P 2 N≌△CAO，     ∴N P 2 =OA=2，AN =OC=l，可求得点P 2 (2，1)．     经检验，点P 1 （1，-1）与点P 2 (2，1)都在抛物线 上．