Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0.2),点C(-1.0),

抛物线Y=2aX²+aX-二分之三经过点B
（1）写出点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若三角板ABC从点C开始以每秒一个单位长度的速度向X轴正方向平移，求点A落在抛物线所用的时间，并求三角板在平移过程扫过的面积。
（4）在抛物线上是否存在点P(点B除外），使△ACP任然是以iACwei直角边的等腰直角三角形？若在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）过B点，做X轴的垂线，设垂足为D，坐标原点为O，能证明三角形ACO与三角形CBD全等（AAS），所以点B的坐标就能求出来了：B（-3，1）；

（2）把点B的坐标代入抛物线方程即可：a=1／2，y=0.5x²+0.5x-2；

（3）设出经过点B与点C的那条直线，两点的坐标都有，直线的方程不难求，然后再联立直线与抛物线的方程，求出直线与抛物线的交点，其中有一个交点就是点B要舍掉，而另一个交点就是我们所希望找的点P，下面的工作就是证明三角形ACP是等腰直角三角形，直角就不用证明了，因为直线BC与直线AC一直是垂直的，所以重点在于证明AC=PC，这个只需要使用两点间的距离公式就能搞定，因为点P的坐标已经求出来了，是（1，-1），而点A和点C是已知，最后证明出AC=PC=√5，所以存在点P。

Answer 2

解：（1）过B作BD⊥x轴于D；
∵∠BCA=90°，
∴∠BCD=∠CAO=90°-∠ACO；
又∵BC=AC，∠BDC=∠AOC=90°，
∴△BDC≌△COA；
∴AO=DC=2，BD=OC=1，
∴B（-3，1）．

（2）由于抛物线过B点，则有：
2a×9+（-3）•a-32=1，
解得a=16；
∴y=13x2+16x-32．

（3）设平移后的三角形为△A′B′C′；
当y=2时，13x2+16x-32=2，
解得x=3（负值舍去）；
∴A′（3，2），C′（2，0）；
∴平移过程所用去的时间为3÷1=3秒；
S扫=S△ABC+S▱AA′C′C
=12×（5）2+3×2=8.5（平方单位）．

（4）①若以AC为直角边，C为直角顶点；
设直线BC交抛物线y=13x2+16x-32于P1，
易求得直线BC的解析式为y=-12x-12；
不难求得P1（1，-1），此时CP1=AC；
∴△ACP1为等腰直角三角形；
②若以AC为直角边，点A为直角顶点；
过A作AF∥BC，交抛物线y=13x2+16x-32于P2，易求得直线AF的解析式为y=-12x+2；
不难得出P2（46-22，6-
464）或（-
46-22，2+
462）（不合题意舍去）；
此时AP2≠AC，
∴△ACP2不是等腰直角三角形；
∴符合条件的P点有一个：P（1，-1）．

Answer 3

（1）过B点，做X轴的垂线，设垂足为D，坐标原点为O，能证明三角形ACO与三角形CBD全等（AAS），所以点B的坐标就能求出来了：B（-3，1）；

（2）把点B的坐标代入抛物线方程即可：a=1／2，y=0.5x²+0.5x-2；

（3）设出经过点B与点C的那条直线，两点的坐标都有，直线的方程不难求，然后再联立直线与抛物线的方程，求出直线与抛物线的交点，其中有一个交点就是点B要舍掉，而另一个交点就是我们所希望找的点P，下面的工作就是证明三角形ACP是等腰直角三角形，直角就不用证明了，因为直线BC与直线AC一直是垂直的，所以重点在于证明AC=PC，这个只需要使用两点间的距离公式就能搞定，因为点P的坐标已经求出来了，是（1，-1），而点A和点C是已知，最后证明出AC=PC=√5，所以存在点P。

Answer 4

点B的坐标为( -3 1)
 

Answer 5

C(-3,1)

Answer 6