Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示；抛物线 经过点B。 （1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）过B点作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠CAO， 又∵∠DBC=∠COA=90°，CB=AC， ∴△DBC≌△CAO（AAS） ∴BD=OC=1，CD=OA=2， ∴点B的坐标为（3，1）； （2）∵抛物线 经过点B（3，1）， ∴1=9a-3a-2，解得a= ， ∴抛物线的解析式为 ； （3）假设存在点P，使得△ACB是直角三角形： ①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至P 1 ，使得P 1 C=BC，得到等腰三角形ACP 1 ， 过P 1 作P 1 M⊥x轴，如图1 ∵CP 1 =BC，∠MCP 1 =∠BCD，∠P 1 MC=∠BDC=90°， ∴△MP 1 C≌△DBC（AAS）， ∴CM=CD=2，P 1 M=BD=1 可求得点P 1 （-1，-1）， 经检验P 1 （-1，-1）在抛物线 上； ②若以AC为直角边，点A为直角顶点，且点P在y轴左侧，则过点A作AP 2 ⊥CA，且使得AP 2 =AC，得到等腰直角三角形ACP 2 ，过P 2 作P 2 N⊥y轴，如图2， 同理可证△AP 2 N≌△CAO， ∴P 2 N=OA=2，AN=OC=1， 可求得点P 2 （-2，1），经检验P 2 （-2，1）也在抛物线 上； ③若以AC为直角边，点A为直角顶点，且点P在y轴右侧，则过点A作AP 3 ⊥CA，且使得AP 3 =AC，得到等腰直角三角形ACP 3 ，过P 3 作P 3 H⊥轴，如图3， 同理可证△AP 3 H≌△CAO， ∴HP 3 =OA=2，AH=OC=1， 可求得点P 3 （2，3），经检验P 3 （2，3）不在抛物线 上。 综上所述，符合条件的点有P 1 （-1，-1），P 2 （-2，1）两点。