过点F(0,1)作直线l与抛物线x2=4y相交于两点A、B,圆C:x2+(y+1)2=1(1)若抛物线在点B处的切线恰好

过点F(0,1)作直线l与抛物线x2=4y相交于两点A、B,圆C:x2+(y+1)2=1(1)若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切,求直线l的方程;(2)过点A、B分别作... 过点F(0,1)作直线l与抛物线x2=4y相交于两点A、B,圆C:x2+(y+1)2=1(1)若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切,求直线l的方程;(2)过点A、B分别作圆C的切线BD、AE,试求|AB|2-|AE|2-|BD|2的取值范围. 展开
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猴睬舶19
2014-12-10 · TA获得超过410个赞
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(1)设A(x1,y1),B(x2,y2
由x2=4y,得y/
1
2
x
,则过点B的切线方程为:
x2
2
x?y+y2?
x
2
2
2
=0

由已知:点B处的切线恰好与圆C相切,y2
x
2
2
4

x2=±2
3
y2=3
,即点B坐标为(±2
3
,3)

∴直线l的方程为:y=±
3
3
x+1

(Ⅱ)
法一:由已知,直线l的斜率存在,则设直线l的方程为:y=kx+1,
联立x2=4y,得x2-4kx-4=0,∴x1+x2=4k,x1x2=-4
∴x12+x22=16k2+8
∴|AB|2-|AE|2-|BD|2=(-2-2k2)x1x2-4k(x1+x2)-6=-8k2+2≤2
∴|AB|2-|AE|2-|BD|2的取值范围是(-∞,2]
法二:根据题意,连接AC、AB﹑EC﹑ED.设直线l的方程为:y=kx+1,
联立x2=4y可得x2-4kx-4=0,∴x1+x2=4k,x1x2=-4
|AE|2=|AC|2-|EC|2=x12+(y1+1)2-1.
同理,|BD|2=x22+(y2+1)2-1.
又|AB|2=(y1+y2+2)2
∴|AB|2-|AE|2-|BD|2=2x1x2+4(x1+x2)-(y12+y22)-2(y1+y2)+4=-8k2+2≤2.
∴|AB|2-|AE|2-|BD|2的取值范围是(-∞,2]
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