Question

设Sn是数列{an}的前n项和，且2an+Sn=An2+Bn+C．（1）当A=B=0，C=1时，求an；（2）若数列{an}为等差数列，

设Sn是数列{an}的前n项和，且2an+Sn=An2+Bn+C．（1）当A=B=0，C=1时，求an；（2）若数列{an}为等差数列，且A=1，C=-2．①求an；②设bn=2nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由题意得，2a_n+S_n=1，
∴2a_n-1+S_n-1=1（n≥2），
两式相减，得an＝

2

3

an?1，…（3分）
又当n=1时，有3a₁=1，即a1＝

1

3

，
∴数列{a_n}为等比数列，
∴an＝

1

3

(

2

3

)n?1．…（5分）
（2）①∵数列{a_n}为等差数列，由通项公式与求和公式，得：
2an+Sn＝2a1+2(n?1)d+

d

2

n2+(a1?

d

2

)n＝

d

2

n2+(a1+

3d

2

)n+2a1?2d，
∵A=1，C=-2，∴

d

2

＝1，a₁-d=-2，∴d=2，a₁=1，
∴a_n=2n-1．…（10分）
②由题bn＝2nan＝(2n?1)2n，
Tn＝1?21+3?22+…+(2n?1)?2n，（ⅰ）
2T_n=1?2²+3?2³+…+（2n-3）?2ⁿ+（2n-1）?2ⁿ⁺¹（ⅱ）…（13分）
（ⅰ）式-（ⅱ）式得：
?Tn＝21+2?22+…+2?2n?(2n?1)?2n+1＝2+

23?(1?2n?1)

1?2

?(2n?1)2n+1
=2+2³?（2^n-1-1）-（2n-1）?2ⁿ⁺¹，
∴Tn＝(2n?3)?2n+1+6．…（16分）