Question

设a1=3^2-1^2, a2=5^2-3^2, ……，aN=(2N+1)^2-(2N-1)^2 (N为大于0的自然数)

若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是"完全平方数"试找出a1,a2,……，aN，……这一列数中从小到大排列的前四个完全平方数，并指出当N满足什么条件时，aN为完全平方数（不必说明理由）

Answer 1

解：an=（2n+1）^2-(2n-1)^2=8n=(2^2)*2n,即2n要为完全平方数，不妨设2n=k^2,k为自然数，亦即n=k^2/2,注意到n为偶数，k也为偶数因此k取2，4，6，8……n取2，8，18，32……an为……

Answer 2

aN=(2N+1)^2-(2N-1)^2化开就是aN=8N为平方数就是8N=k^2N=k^2/8并且要整除那么当N=2*m^2满足，并且此时k=m+2其中四个2 8 18 32

Answer 3

aN=(2N+1)^2-(2N-1)^2=4N*24*2*2=164*2*4*2=644*2*9*2=1444*2*16*2=256N=2m^2 (m=1,2,3,...