Question

高等数学极限证明问题

求证：lim(x→1)[(x^3-1)/(x-1)]=3
证明：任意ε>0，|(x^3-1)/(x-1)-3|=|x+2||x-1|
不妨设|x-1|<1,0<x<2
|x+2||x-1|<4|x-1|<ε
取δ1=ε/4
令δ=min{δ1,1}
对于0<|x-1|<δ的x有|(x^3-1)/(x-1)-3|<ε
要是设|x-1|<1/2结果不就不一样了么，为什么设|x-1|<1
我刚高考完，自学了一点高数，请讲得通俗一点，谢谢

Answer 1

您好！结果是一样的。这个|x-1|小于的数可以任取，比如取小于1/2，那么可以算出|x+2|<7/2，即|x+2||x-1|<(7/2)*|x-1|<ε。令δ=min{2ε/7，1/2}，当|x-1|<ε时，有|(x^3-1)/(x-1)-3|<ε. 请注意δ和ε的逻辑含义不同，前者是存在即可，后者是任给的很小的正数，前者是随意的选取（找到一个就可以），后者是严格的审查（必须能够小于任给的很小很小的正数）。所以这种证明题的思路就是找到一个δ来满足那个绝对值可以小于任给的正数，所以取δ时要方便计算，不要给自己添麻烦。明白了吗？