Question

已知关于x的不等式2x-1>m(x^2-1) （1)是否存在实数m，使不等式对任意x属于R恒成立？

并说明理由 （2）若对于m属于[-2,2]不等式恒成立，求实数x的取值范围 （3）若不等式在[2,3]上有解，求实数m的取值范围

Answer 1

（一）若对于实数x不等式恒成立，求m的取值范围：

2x-1>m(x^2-1)

当x=-1时，-2-1＞m(1-1)，-3＞0不成立

所以不存在实数m使对于实数x不等式恒成立

即m∈空集

（二）若对于m属于[-2,2]不等式恒成立，求实数x的取值范围：

2x-1>m(x^2-1)

首先，x=1时，2-1＞0恒成立；x=-1时，-2-1＞0恒不成立

如果x＜-1，或x＞1，则(2x-1)/(x^2-1)＞m，

m∈[-2,2]，

∴(2x-1)/(x^2-1)＞2，x-1/2＞x^2-1

x^2-x＜1/2

(x-1/2)^2＜3/4

-√3/2＜x-1/2＜√3/2

(1-√3)/2＜x＜(1+√3)/2

根据x＜-1，或x＞1解得：1＜x＜(1+√3)/2）

如果-1＜x＜1，则(2x-1)/(x^2-1)＜m，

m∈[-2,2]，

∴(2x-1)/(x^2-1)＜-2，x-1/2＞-x^2+1

x^2+x＞3/2

(x+1/2)^2＞7/4

x+1/2＜-√7/2，或x+1/2＞√7/2

x＜-(√7+1)/2，或x＞(√7-1)/2

根据-1＜x＜1解得：(√7-1)/2＜x＜1

综上，(√7-1)/2＜x＜(1+√3)/2

（3）

如果我的回答对您有帮助的话，望采纳，谢谢！