Question

关于“在三角形ABC中,向量AB乘向量AC=向量BA乘向量BC=K,判断三角形ABC的形状”

因为向量AB乘以向量AC等于向量BA乘以向量BC，所以等于负的向量AB乘以向量BC，约去向量AB，则有向量AC等于负的向量BC，那么A,B,C三点共线，不构成三角形......我的解到底哪里出错了

Answer 1

请注意：
向量的数量积是不能2边约去的
即：a·b=a·c不能得出：b=c
要这样：a·(b-c)=0
AB·AC=|AB|*|AC|*cosA
BA·BC=|AB|*|BC|*cosB
故：|AB|*|AC|*cosA=|AB|*|BC|*cosB
即：|AC|*cosA=|BC|*cosB
即：bcosA=acosB
即：sinBcosA=sinAcosB
即：sin(A-B)=0
A-B∈(-π,π)
故：A-B=0，即：A=B
等腰三角形

追问

你答的好棒，但是为什么2边不能约去？又不是零向量，而且方向大小不是都一样吗....？？是概念的问题吗？能解释一下吗，谢谢：）

追答

a·b=a·c

1
如果a、b、c均为非零向量
则：a·(b-c)=0
故：a⊥(b-c)
这里面包含b=c的情况
举个例子，a=(1,0)，b=(1,1)，c=(1,-1)
a·b=(1,0)·(1,1)=1
a·c=(1,0)·(1,-1)=1
此时a·b=a·c，但b≠c
2
如果a、b、c可以为零向量
比如a=0
则此时b、c是可以取任何值的

Answer 2

AB.AC =|AB||AC|cosA
AB.BC= -|AB||BC|cosB

|AB||AC|cosA =-|AB||BC|cosB
|AC|cosA =-|BC|cosB
bcosA = -acosB
b/a = -cosB/cosA
sinB/sinA = -cosB/cosA
tanB= -tanA
B=π-A

追问

第二步不对吧，为什么要加负号

追答

AB.BC= |AB||BC|cos(π-B)

=-|AB||BC|cosB