Question

一道物理竞赛题

水平弹簧振子质量m=1kg,倔强系数K=100N/m,振子与水平面的动摩擦因数为0.1，将它从平衡位置O拉长只A，使得OA=9.3cm,后放手作阻尼振动，问经过多少时间后振子停止运动？
谢了

Answer 1

弹簧振子在恒定阻力(该阻力不含弹簧弹力)下的振动

可以这样考虑:

既然阻力恒定,假定阻力大小为F,F>0,当振子向下振动时,阻力向上,

假定弹簧形变量向上x,当x为负值时,表示形变量向下|x|,弹力大小kx,方向向下,向下的合力为kx-F=k(x-F/k),相当于胡克定律中的弹簧形变量小了F/k,也相当于弹簧的平衡位置向上移动了F/k的距离.

同样地,当振子向上振动时,阻力向下,相当于弹簧的平衡位置向下移动了F/k的距离.

下面进行实际的数值分析,

假定F=1,k=100,则F/k=0.01.

当振子向右振动时,阻力向左,相当于弹簧的平衡位置相对于弹簧的自然位置左移了一段距离,到了y=0.01位置,当振子向左振动时,阻力向右,相当于弹簧的平衡位置相对于弹簧的自然位置右移了一段距离,到了y=-0.01位置.

振子开始时在偏离平衡位置O右方的y=0.093处,振子向左振动时,平衡位置从y=0处上移到y=0.01处,所以振子可以运动到与y=0.01对称的y=2*0.01-0.093=-0.073处.相当于以O为平衡位置的话,振幅减小了2*0.01=0.02.

接着振子从y=-0.073处向右振动时,平衡位置从y=0.01处下移到y=-0.01处,所以振子可以运动到y=-2*0.01-(-0.073)=0.053处.相当于以O为平衡位置的话,振幅又减小了0.02.

依次往复运动,当振幅减小到A＜0.01m，滑动摩擦力已经大于了弹簧弹力,所以振子不会向上振动,同样除了摩擦力外,振子只受到弹簧弹力作用,弹力小于最大静摩擦力,振子只能保持静止状态.振动结束.

从上述分析可以看到一下简单的结论:

(1)振子振动的偏离平衡位置O的最大位移随时间线性减小.

(2)振子振动的总时间t可以这样计算:

如果弹簧的劲度系数为k,振子的质量为m,

由振子的周期公式得振子振动一个周期的时间T=2π√(m/k)=0.2π  s,

本题振子两个周期后振幅减为0.013，只能再运动半个周期，停止于0.007处

所以运动时间为t=2.5T=0.5πs

Answer 2

阻力做功=弹性势能
μmgS=kA^2/2
S=(100*0.093^2/2)/0.1*10
=0.43245m
只能求出移动距离
时间。。。。不知咋求了