Question

已知函数f(x)=x^2-4-k|x-2|

已知函数f(x)=x^2-4-k|x-2|
1、若函数f（x）为偶函数，求k的值。
2、求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值。
3、若f(x)有且只有1个零点，求实数k的取值范围。

Answer 1

已知函数f（x）=x2-4-k|x-2|．
（1）若函数y=f（x）为偶函数，求k的值；
（2）求函数y=f（x）在区间[0，4]上的最大值；
（3）若函数y=f（x）有且仅有一个零点，求实数k的取值范围．
答案
解：（1）因为y=f（x）为偶函数，所以f（-1）=f（1），解得k=0，
经检验k=0符合题意． …（2分）
（2）当x∈[0，4]时，f（x）=，
因为y=f（x）在区间[0，4]上图象由两段抛物线段组成，且这两个抛物线开口均向上，
所以其最大值只可能是f（0）、f（2）、f（4）其中之一． …（4分）
又f（0）=-2k-4，f（2）=0，f（4）=12-2k，显然f（4）＞f（0）．
所以当k＜6时，所求最大值为f（4）=12-2k；
当k≥6时，所求最大值为f（2）=0．…（6分）
（3）由题意得，方程x2-4-k|x-2|=0有且仅有一个解，显然，x=2已是该方程的解．…（8分）
当x≥2时，方程变为（x-2）（ x+2-k）=0；
当x＜2时，方程变为（x-2）（ x+2+k）=0．
从而关于x的方程x+2-k=0（x≥2）有且仅有一个等于2的解或无解，且x+2+k=0（x＜2）无解．
又x=2时，k=4，此时x=-6也是方程的解，不合题意．
所以关于x的方程x+2-k=0（x≥2）无解，且x+2+k=0（x＜2）无解．
所以，k＜4且k≤-4．
综上，k≤-4，即实数k的取值范围为（-∞，-4]．…（10分）
解析
分析：（1）因为y=f（x）为偶函数，所以f（-1）=f（1），由此解得k的值．
（2）当x∈[0，4]时，f（x）=，所以其最大值只可能是f（0）、f（2）、f（4）其中之一．再由f（4）＞f（0），可得函数的最大值．
（3）由题意得，方程x2-4-k|x-2|=0有且仅有一个解，显然，x=2已是该方程的解．故关于x的方程x+2-k=0（x≥2）有且仅有一个等于2的解或无解，且x+2+k=0（x＜2）无解，从而求得实数k的取值范围．
点评：本题主要考查二次函数的性质应用，函数的零点的定义，函数的奇偶性，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题．

Answer 2

1、f(x)=x^2-4-k|x-2| f(-x)=x^2-4-k|-x-2| 因f(x)=f(-x)则k|x-2|=k|-x-2| ；因|x-2|=|-x-2|只在x=0时成立，所以只能k=0
2、【0,2】f(x)=x^2-4+kx-2k

追问

第三个问呢？