Question

设数列{an}的前n项和为Sn,且an=2-2Sn

(1)求数列{an}的通项公式
(2)令bn=（1/2)n*an,Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn
（3）是否存在自然数m，使得（m-2）/4＜Tn＜m/4对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值。若不存在，说明理由。

Answer 1

(1)
令n=1，得a₁=2/3.
an=2-2Sn，a（n+1）=2-2S（n+1）。
两式相减，得an-a（n+1）=2a（n+1）。
整理得a（n+1）=1/3×an，a1=2/3.
∴数列{an}是首项a₁=2/3，公比q=1/3的等比数列。
∴an=a₁×qⁿ⁻¹=2/3ⁿ
综上，数列{an}的通项公式为2/3ⁿ。

(2)
bn=nan/2=n/3ⁿ。
Tn=1/3+2/3²+...+n/3ⁿ
1/3Tn=1/3²+2/3³+...+（n-1）/3ⁿ+n/3ⁿ⁺¹
2/3Tn=1/3+1/3²+1/3³+...+1/3ⁿ-n/3ⁿ⁺¹
=1/2-1/2×3ⁿ-n/3ⁿ⁺¹
Tn=3/4-（2n+3）/（4×3ⁿ）
综上，数列{bn}的前n项和为3/4-（2n+3）/（4×3ⁿ）。

(3)
∵bn＞0
∴Tn递增，故Tn≥T1=1/3.
又Tm=3/4-（2n+3）/（4×3ⁿ）＜3/4.
∴1/3≤Tn＜3/4.
若存在这样的m，则满足：
①（m-2）/4＜1/3
②3/4≤m/4
联立①、②，得3≤m＜10/3。
又m为自然数，故m=3.
综上，存在m=3使命题成立。

Answer 2

(1)an=2-2Sn a(n-1)=2-2S(n-1) an-a(n-1)=-2an 3an=a(n-1) q=an/a(n-1)=1/3
a1=2-2a1=2/3 所以{an}是公比为1/3，a1=2/3的等比数列 {an}=2/3 * 1/3^(n-1)

追问

（2）和（3）？