Question

在三角形ABC中，D为BC边上一动点﹙D点不与B，C两点重合﹚，DE∥AC交AB于E点,DF∥AB交AC于F点。

【1】试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并加以证明。【2】 如果在【1】的条件下，三角形ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形

Answer 1

解：（1）当AD平分∠EAF时，四边形AEDF为菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴∠EAD=∠FDA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠FAD=∠FDA，
∴AF=DF，
∴四边形AEDF为菱形；

（2）当△ABC为直角三角形，∠BAC=90°时，四边形AEDF为正方形，
理由：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴∠EAD=∠FDA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠FAD=∠FDA，
∴AF=DF，
∴四边形AEDF为菱形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF为正方形．