Question

已知f(x)={x^2-4x +3,x≤0/-x^2-2x +3,x>0},不等式f(x +a)

f(2a-x)在[a,a +1]恒成立，求a取值范围

Answer 1

由分段函数知，分两部分讨论函数的单调性，从而可得f（x）在R上是减函数，化恒成立问题为x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；从而化为最值问题即可．
解答： 解：①当x≤0时，f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1，
故f（x）在（-∞，0]上是减函数；
②当x＞0时，f（x）=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
故f（x）在（0，+∞）上是减函数；
又∵（0-2）2-1=-（0+1）2+4，
∴f（x）在R上是减函数，
∴不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立可化为
x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；
即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，
故2（a+1）＜a，
解得，a＜-2；

Answer 2

不会