Question

已知函数f(x)=log(1/2)底数(x^2-2ax+3)指数（1）若f（-1）=-3,求f(x)的单调区间

(2)是否存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由

Answer 1

以下，将以a为底b的对数，记做：log【a】b

解1：
f(x)=log【1/2】(x²-2ax+3)
已知：f(-1)=-3
有：log【1/2】[(-1)²-2a(-1)+3]=-3
log【1/2】(4+2a)=-3
4+2a=(1/2)^(-3)
4+2a=8
解得：a=2
代入所给方程，有：
f(x)=log【1/2】(x²-4x+3)
f(x)=[ln(x²-4x+3)]/(-ln2)
有：x²-4x+3＞0
解得：x＞3，x＜1
f'(x)=(2x-4)/[(-ln2)(x²-4x+3)]
f'(x)=2(2-x)/[(ln2)(x-1)(x-3)]
1、令：f'(x)＞0，即：2(2-x)/[(ln2)(x-1)(x-3)]＞0
(2-x)/[(x-1)(x-3)]＞0
x-1＞0、x-3＞0、2-x＞0……………………(1)
x-1＞0、x-3＜0、2-x＜0……………………(2)
x-1＜0、x-3＜0、2-x＞0……………………(3)
x-1＜0、x-3＞0、2-x＜0……………………(4)
由(1)得：x＞3、x＜2，矛盾；
由(2)得：2＜x＜3
由(3)得：x＜1
由(4)得：x＜1、x＞3，矛盾。
2、令：f'(x)＜0，即：2(2-x)/[(ln2)(x-1)(x-3)]＜0
(2-x)/[(x-1)(x-3)]＜0
x-1＞0、x-3＞0、2-x＜0……………………(5)
x-1＞0、x-3＜0、2-x＞0……………………(6)
x-1＜0、x-3＜0、2-x＜0……………………(7)
x-1＜0、x-3＞0、2-x＞0……………………(8)
由(5)得：x＞3；
由(6)得：1＜x＜2；
由(7)得：x＜1、x＞2，矛盾；
由(8)得：x＜1、x＞3，矛盾；
综上所述，再考虑到函数的定义域，有：
f(x)的单调增区间是：x∈(-∞，1)；
f(x)的单调减区间是：x∈(3，∞)。

解2：
f(x)=log【1/2】(x²-2ax+3)
有：x²-2ax+3＞0
(x-a)²＞a²-3
当-3＜a＜3时：无解；
当a≤-3、a≥3时：
a-√a²-3＞x、x＞a+√(a²-3)
此为f(x)的定义域。
由所给方程，f(x)=log【1/2】(x²-2ax+3)
有：(1/2)^f(x)=x²-2ax+3
可见：若f(x)为单调增函数，则x²-2ax+3为单调减函数。
有：(x²-2ax+3)'＜0
即：2x-2a＜0
解得：x＜a
即：f(x)的单调增区间为：x∈(-∞，a)
依题意有：f(x)的单调增区间是x∈(-∞，2)
因此，必有：(-∞，a)∈(-∞，2)
解得：a≤2，
由前面对f(x)定义域的讨论可知，必有：a≤-3、a≥3
因此，a的取值范围是a∈(-∞，-3]。

Answer 2

1、f(-1)=log(1/2)(1+2a+3)=-3
2a+4=8
a=2
x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0
x<1 x>3
x<1时，x^2-4x+3单调减，log(1/2)t单调减，根据复合函数单调性性质，f(x)单调增
x>3时，x^2-4x+3单调增，log(1/2)t单调减，根据复合函数单调性性质，f(x)单调减
2、因为log(1/2)t单调减，根据符合函数单调性性质，要使f(x)在(-∞,2)上为增函数，则t=x^2-2ax+3在(-∞,2)上为减函数：
所以，对称轴=-(-2a)/2=a>=2
又(-∞,2)应为原函数的定义域，所以在(-∞,2)上t>0,所以t(2)=4-4a+3>=0,a<=7/4
所以无解。

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