Question

已知数列{an}、{bn}满足：a1=1/4,an+bn=1,b(n+1)=bn/[(1-an)(1+an)]

已知数列{an}、{bn}满足：a1=1/4,an+bn=1,b(n+1)=bn/[(1-an)(1+an)]
(1)求b1、b2、b3、b4
(2)设cn=1/[(bn)-1],求数列{cn}的通项公式
(3)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…ana(n+1),求S16

Answer 1

由题得bn=1-an (1)b(n+1)=bn/[(1-an)(1+an)]=1/(1+an) （2）由（1）得b(n+1)=1-a(n+1)代入（2）中将b(n+1)换去得1-a(n+1)=1/(1+an) 整理得：an-a(n+1)-ana(n+1)=0 同除ana(n+1)得1/（a(n+1)-1/an-1=0 (3) 令1/an=Tn,T1=4则T(n+1)=Tn+1(这是等差数列，d=1)∴Tn=4+(n-1)d=n+3∴an=1/Tn=1/(n+3)bn=1-an=(n+2)/(n+3)b1=3/4,b2=4/5,b3=5/6,b4=6/7(2)cn=1/[(bn)-1]=-(n+3)(3)Sn=1/4.1/5+1/5.1/6+........1/(n+3),1/(n+4)1/4.1/5=1/4-1/5,1/5.1/6=1/5-1/6.....................1/(n+3).1(n+4)=1/(n+3)-1/(n+4)∴Sn=1/4-1/5+1/5-1/6.......-1/(n+3)+1/(n+3)-1/(n+4)Sn=1/4-1/(n+4)∴S16=1/4-1/20=1/5(不懂的就问，望采纳！！）

Answer 2

解：(1)因为a1=1/4,an+bn=1,b(n+1)=bn/[(1-an)(1+an)] 所以b1=3/4，b(n+1)=1/(2-bn) 所以b1=3/4、b2=4/5、b3=5/6、b4=6/7 (2)由(1)知b1=3/4，b(n+1)=1/(2-bn) 因为cn=1/[(bn)-1] 所以c1=-4，c(n+1)=1/[b(n+1)-1]=[1/[(bn)-1]]-1=cn-1，且c2=-5满足c2=c1-1 所以数列{cn}是以c1=-4为首项，d=-1为公差的等差数列 所以通项公式为：cn=-n-3 (3)因为cn=1/[(bn)-1],an+bn=1 所以cn=-1/an，则an=-1/cn=1/(n+3) 所以ana(n+1)＝1/(n+3)*1/(n+4)＝1/(n+3)-1/(n+4) 因为Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+ana(n+1) 所以S16=(1/4-1/5)+(1/5-1/6)+(1/6-1/7)+...+(1/19-1/20)=1/5

Answer 3

1、b1=3/4 b2=4/5 b3=5/6 b4=6/72、猜想bn=（n+2）/（n+3）有数学归纳法证明：当n=1时b1=3/4，符合上式假设当n=k，k>=2时bk=（k+2）/（k+3）当n=k+1时b（k+1）=bk/[(1-ak)(1+ak)]=（1-ak）/[(1-ak)(1+ak)]=1/（1+ak）=1/（2-bk）=（k+3）/（k+4）所以当n=k+1时符合猜想，故bn=（n+2）/（n+3）所以cn=-n-3，n为正整数3、an=1-bn=1/（n+3）所以ana(n+1)=1/[(n+3)(n+4)]=1/(n+3)-1/(n+4)所以Sn=1/4-1/（n+4）所以S16=1/5