Question

排列组合中的着色问题．

由两个同心圆构成的圆环被n等分,每一份以及中间的小圆用4种不同的颜色着色,要求相临两块颜色不同,求共有几钟着色方案?

这是答案,大家帮我看看对不对?)
当n=1时,方案N=4*3=12;
当n=2时,方案N=4*3*2=24;
当n=3时,方案N=4*3*2*1=24;
当n>=4时,方案N=4*3*2(&n-3)*(1*2+1*1)=3(&2)*2(&n-1).
其中(&n)表示乘方.
高手们，帮忙了！
我的想法是：
当n＝3时，即圆环分为1，2，3三个区域．
第一步：小圆，有4种选择；
第二步：区域1，有3种选择；
第三步：区域2，有2种选择；
第四步：区域3与1，2及小圆都相邻，所以只有1种选择．
所以应该只有4＊3＊2＊1＝24种方法．
错了吗？指教啊！

Answer 1

你的结果是错的。
当 n=1时，N=12
当 n=2时，N=24
当 n=3时，N=24
当 n=4时，N=72
当 n=5时，N=120
一般的情况下:因为中间小圆有4种涂法，剩余用3种颜色去涂圆环
这里先不考虑中心的一个圆：
用3种颜色染同一个圆分成的n个扇形，使相邻扇形不同色，有多少种不同的染色方法，其中n≥3．设n个扇形为S1，S2，…,Sn (n≥3)．并设用3种颜色染n个扇形符合要求的染法总数为an．对S1有3种染法，对S2则有2种染法，对S3也同样有2种染法，如此下去，对Sn也有2种染法．这时共有3*2^(n-1)种不同的染法．但是这时可能出现S1与Sn染同色，我们可以在这种情况下，拆掉隔离S1与Sn的半径，变成n-1个扇形，这样，染色就对n-1个扇形符合要求了．因此有递推式:
an＝3*2^(n-1)－a(n-1)
an－2^n＝－[a(n-1)－2^(n-1)]
从而数列{an－2^n}构成一个以－1为公比的等比数列．
依题意a3＝3*2*1=6
于是an－2^n＝[a3－2^3](－1)^(n－1)
整理得an＝2^n＋2*(－1)^n

故由两个同心圆构成的圆环被n等分,每一份以及中间的小圆用4种不同的颜色着色,要求相临两块颜色不同,求共有几钟着色方案有：
4*an=2^(n+2)+8*(-1)^n

Answer 2

当n=1时,方案N=C(4,1)*C(3,1)=12;
当n=2时,方案N=C(4,1)*C(3,1)*C(2,1)=24;
当n=3时,方案N=C(4,1)*C(3,1)*C(2,1)*C(2,1)=48;
当n=4时,方案N=C(4,1)*C(3,1)*2^3=96;
用数学归纳法就可以知道，正确答案应该是
方案N=4*3*2^(n-1)=3*2^(n+1).
做这一类的题就需要细心一点,没有什么太多的技巧.真正有技巧性的题是某些年的高考题,比如2002年高考的第16题.多做就行了,熟能生巧嘛.

Answer 3

最后好象不对,为3*2^(n-1)

Answer 4

n=3时有48种吗？
我怎么算是24种？