Question

求一题关于高数偏导数的解答

设x=x(y,z),y=y(x,z),z=(x,y)都是由方程F(x,y,z)=0所确定的具有连续偏导得函数，证明dx/dy*dy/dz*dz/dx=-1
解答：
由连续偏导函数x=x(y,z)得
∂x/∂y=-Fy/Fx
同理：∂y/∂z=-Fz/Fy
∂z/∂x=-Fx/Fz
所以(∂x/∂y)×(∂y/∂z)×(∂z/∂x)=-1
提问：
我想知道“∂x/∂y=-Fy/Fx”这个的出处，如果是固定的公式请告诉我公式的具体内容，不用证明。(∂x/∂y)×(∂y/∂z)×(∂z/∂x)=-1这个约分不应该是1吗，为什么会是-1.刚开始学高数，不懂这个

Answer 1

“∂x/∂y=-Fy/Fx”这是隐函数求导公式，在高数下册多元函数微分那一章。一般来说∂x/∂y是不能像一元函数dx/dy那样看出∂x和∂y相除的，因此一般不能约分，(∂x/∂y)×(∂y/∂z)×(∂z/∂x)=-1而不是1正说明不能简单约分的。如果多说一点，造成不能约分的原因是它们固定的量不一样，如果对深刻原因不太感兴趣的话只记住结论即可。

Answer 2

这个你只要对x=x(y,z)两边分别对x,y求偏微分，然后得到∂x=A，∂y=B，∂x/∂y=A/B。同理，其他隐函数都可以这样求，不要死记公式，这样不好的

Answer 3

• 在多元函数微分中，隐函数求导法则，也叫隐函数存在定理：

• 设三元函数F(x,y,z)在点M(x。,y。,z。)某邻域内有连续偏导数，且F(x。,y。,z。)=0，F‘x(x。,y。,z。)≠0，则由方程F(x,y,z)=0可确定局有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)，且∂z/∂x=-F'x/F'z ，∂z/∂y=-F'y/F'z