Question

求与均值不等式有关的难题，附加答案，二三十个左右

题型不能重复，有一定难度，答案准确

Answer 1

1.(x+y)[(1/x)+(a/y)]=1+a+ax/y+y/x，利用均值不等式
1+a+ax/y+y/x>=1+a+2根号(a),等号当ax/y=y/x时成立,要使得不等式(x+y)[(1/x)+(a/y)]≥9对任意正实数x,y恒成立，则1+a+2根号(a)>=9，由于1+a+2根号(a)对正实数a是递增的，故要求正实数a的最小值即满足1+a+2根号(a)=9，可解得a=4

2.由lgx+lgy=lgxy=1知：xy=10，利用均值不等式有：
5/x+2/y>=2根号（10/xy）=2，等号当5/x=2/y即2x=5y是成立

3.利用均值不等式
a^2/x+x(a+b)^2>=2*根号(a^2/x*x(a+b)^2)=2a(a+b).等号当x=a/(a+b)时成立
b^2/(1-x)+(1-x)(a+b)^2>=2b(a+b).等号当1-x=b/(a+b)时成立
所以两式相加得a^2/x+b^2/(1-x)+(a+b)^2>=2(a+b)^2
即y>=(a+b)^2
当x=a/(a+b)时等号成立

4.利用均值不等式
1=a+(1-a)>=2根号[a（1-a）]，即a（1-a）<=1/4(其中0=<a<=1)
从而1/[a（1-a）]>=4，等号当a=1-a即a=1/2时取到
则由 a+b=1，知：
y=(1/a)+(1/b)=1/a+1/（1-a）>=2根号(1/[a（1-a）])>=4，等号当
1/a=1/（1-a）即a=1/2时取到