求幂函数X+2X^2+3X^3+4X^4+......+nx^n+...的收敛半径和收敛域
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推荐于2016-12-02
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S=X+2X^2+3X^3+4X^4+......+nx^n
x=0,S=0
|x|>=1,函数发散
0<|x|<1
xS=X^2+2X^3+3X^4+4X^5+......+nx^(n++1)
S-Sx=x+x^2+x^3+...+x^n-nx^(n+1)
S(1-x)=(x^(n+1)-x)/(x-1)-nx^(n+1)
S=nx^(n+1)/(1-x)-(x^(n+1)-x)/(x-1)^2
lim x-->∞ S=x/(x-1)^2=1/(x-2+1/x)
(1) 1>x>0, 不能确定
(2)0>x>-1
-1/4<1/(x-2+1/x)<0
x=0,S=0
|x|>=1,函数发散
0<|x|<1
xS=X^2+2X^3+3X^4+4X^5+......+nx^(n++1)
S-Sx=x+x^2+x^3+...+x^n-nx^(n+1)
S(1-x)=(x^(n+1)-x)/(x-1)-nx^(n+1)
S=nx^(n+1)/(1-x)-(x^(n+1)-x)/(x-1)^2
lim x-->∞ S=x/(x-1)^2=1/(x-2+1/x)
(1) 1>x>0, 不能确定
(2)0>x>-1
-1/4<1/(x-2+1/x)<0
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