Question

已知二次函数f﹙x﹚满足f﹙x＋1﹚＋f﹙x－1﹚＝2x²－4x，①求函数f﹙x﹚的解析式

②若f﹙x﹚＞a在x∈[﹣1,2﹚上恒成立，求实数a的取值范围
③求当x∈[0，a]﹙a＞0﹚时f﹙x﹚的最大值g﹙a﹚

Answer 1

解：设f(x)=ax²+bx+c，则
f﹙腊雹x＋1﹚＋f﹙猛局羡x－1﹚
=a(x+1)²+b(x+1)+c+a(x-1)²+b(x-1)+c
=2ax²+2bx+2(a+c)
=2x²－4x
故，枝拍a=1；b= -2；c= -1；
即：f﹙x﹚=x²-2x-1

追问

第②，③题呢？

追答

②f﹙x﹚＞a，在x∈[－1,2﹚上恒成立，

注意到：f﹙x﹚＝x²－2x－1＝（x－1）²－2
对称轴为：x＝1，开口向上，在x＝1处取得最小值－2；
在[－1,2﹚上，f﹙x﹚在x＝－1处取得最大值2；
因此，要使f﹙x﹚＞a，在x∈[－1,2﹚上恒成立，
充要条件为：a＜－2；
③求当x∈[0，a]﹙a＞0﹚时f﹙x﹚的最大值g﹙a﹚

由于f﹙x﹚开口向上，对称轴为：x＝1，
在x∈（－∞，1】上单调递减；在x∈【1，﹢∞）上单调递增；
因此，
当a≤1时，f﹙x﹚的最大值为f﹙0﹚＝－1；
当a＞1时，f﹙x﹚的最大值为f﹙a﹚＝a²－2a－1；
即：
g﹙a﹚＝－1，当a∈（0，1】时
g﹙a﹚＝a²－2a－1，当a∈（1，﹢∞）时。