Question

如图，以三角形ABC的三边为边，在BC的同侧左三个等边三角形ABD,BEC,ACF

判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论。
当三角形ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？什么条件时是矩形？

Answer 1

1.  ∵△ABD和△BEC等边三角形

   ∴BA=BD ，BE=BC
   ∠ABC+∠ABE=∠DBE+∠ABE=60º
   ∴∠ABC= ∠DBE
   ∴△DBE≌△ABC
   ∴AC=DE

   ∴DE=AF 
   同理AD=EF 
   ∴四边形ADEF是平行四边形。

2. ∵△DBE≌△ABC,△FCE≌△ABC

   ∴△FCE≌△DBE

   ∴DE=EF

   ∴四边形ADEF是菱形
   

3. ∠DAF=360-∠BAD-∠CAF-∠BAC
   如果∠DAF=90º，
   则∠BAC=150º，
   此时四边形ADEF是矩形

这是我在静心思考后得出的结论，
如果能帮助到您，希望您不吝赐我一采纳~（满意回答）
如果不能请追问，我会尽全力帮您解决的~
答题不易，如果您有所不满愿意，请谅解~

Answer 2

1、平行四边形ADEF
证明：
∵等边△ABD、等边△BCE、等边△ACF
∴AD＝AB＝BD，BE＝CE＝BC，AF＝CF＝AC，∠ABD＝EBC＝∠ECB＝∠ACF＝60
∵∠ABC＝∠EBC-∠ABE，∠DBE＝∠ABD-∠ABE
∴∠ABC＝∠DBE
∴△ABC≌△DBE （SAS）
∴DE＝AC
∴DE＝AF
同理可得：EF＝AD
∴平行四边形ADEF
2、当△ABC是等腰三角形，AB＝AC时，四边形ADEF是菱形
证明：
∵AB＝AC
∴AD＝AF
∴菱形ADEF
3、当△ABC中，∠BAC＝150时，四边形ADEF是矩形
证明：
∵∠BAD＝∠CAF＝60, ∠BAC＝150
∴∠DAF＝360-∠BAD-∠CAF-∠BAC＝90
∴矩形ADEF

Answer 3

为等腰三角形时（AB=AC），四边形为菱形
为直角三角形时（A为直角），四边形为矩形