![](https://iknow-base.cdn.bcebos.com/lxb/notice.png)
求微分方程ylnydx+(x-lny)dy=0的通解 100
展开全部
令y=e^t, 则原式化为 t*e^tdx+(x-t)*e^tdt=0
两边同除以e^t,整理可得 tdx+xdt=tdt
即 d(xt)=d(1/2t^2)
积分可得 xt=1/2t^2+C (C为任意常数)
带入t=lny,得 xlny=1/2 (lny)^2 + C (C为任意常数)
故该微分方程的解为xlny=1/2 (lny)^2 + C (C为任意常数
1 微分方程
要了解微分方程,得从微分说起,微分的核心是变化率。就比如速度 v = d x d t v=\frac{dx}{dt} v=
dt
dx
,即每一时刻距离的变化;而加速度 a = d v d t a=\frac{dv}{dt} a=
dt
dv
,即每一时刻速度的变化。
有了这个概念后,我们再来看微分方程,简单来说就是由变化率构成的一个方程。其使用场景为:描述相对变量比绝对量更容易时。
微分方程分为两部分:
常微分方程(Ordinary Differential Equations, ODE):函数自变量只有一个,如: y ′ ( x ) = p y + q y'(x)=py+q y
′
(x)=py+q。
偏微分方程(Partial Differential Equations, PDE):函数有多个自变量,如: ∂ T ∂ t ( x , y , t ) = ∂ 2 T ∂ x 2 ( x , y , t ) + ∂ 2 T ∂ y 2 ( x , y , t ) \frac{\partial T}{\partial t}(x,y,t)=\frac{\partial^2T}{\partial x^2}(x,y,t)+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}(x,y,t)
∂t
∂T
(x,y,t)=
∂x
2
∂
2
T
(x,y,t)+
∂y
2
∂
2
T
(x,y,t)
微分方程也可以分为一阶方程和高阶方程,具体的组成(解法)如下图:
微分方程
2 一阶方程
2.1 一阶线性微分方程
形如:
y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y'+p(x)y=q(x)
y
′
+p(x)y=q(x)
若:
q ( x ) = 0 q(x)=0 q(x)=0,则是一阶线性齐次微分方程;
q ( x ) ≠ 0 q(x)≠0 q(x)
=0,则是一阶线性非齐次微分方程;
通解:
y = e − ∫ p ( x ) d x [ ∫ q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x + c ] y=e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c]
y=e
−∫p(x)dx
[∫q(x)e
∫p(x)dx
dx+c]
2.2 变量可分离
形如:
∫ g ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x \int g(y)dy=\int f(x)dx
∫g(y)dy=∫f(x)dx
解法:
d y d x = g ( y ) f ( x ) → G ( y ) = F ( x ) + c \frac{dy}{dx}=\frac{g(y)}{f(x)} \rightarrow G(y)=F(x)+c
dx
dy
=
f(x)
g(y)
→G(y)=F(x)+c
就是将 d y dy dy与 d x dx dx移到一边,其余的移动到另外一边。
2.3 齐次方程
形如:
d y d x = f ( y x ) \frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})
dx
dy
=f(
x
y
)
解法:
令 y x = u \frac{y}{x}=u
x
y
=u,则 d y = u d x + x d u dy=udx+xdu dy=udx+xdu
代入原方程。
2.4 伯努利方程
形如:
y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y n y'+p(x)y=q(x)y^n
y
′
+p(x)y=q(x)y
n
解法:
等式两边同时除 y n y^n y
n
,得到 y − n y ′ + y 1 − n p ( x ) = q ( x ) y^{-n}y'+y^{1-n}p(x)=q(x) y
−n
y
′
+y
1−n
p(x)=q(x)
令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y
1−n
=u;
对第二步结果求导得: ( 1 − n ) y − n y ′ = d u d x → y − n y ′ = u ′ 1 − n = 1 1 − n d u d x (1-n)y^{-n}y'=\frac{du}{dx} \rightarrow y^{-n}y'=\frac{u'}{1-n}=\frac{1}{1-n}\frac{du}{dx} (1−n)y
−n
y
′
=
dx
du
→y
−n
y
′
=
1−n
u
′
=
1−n
1
dx
du
;
将步骤3结果与步骤2结果代入步骤1: 1 1 − n d u d x + u p ( x ) = q ( x ) \frac{1}{1-n} \frac{du}{dx}+up(x)=q(x)
1−n
1
dx
du
+up(x)=q(x);
接着依据步骤4的情况来选择使用什么通解公式求解。
2.5 全微分方程
形如:
P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
就是说函数 P P P和函数 Q Q Q都是包含了 x x x和 y y y的。
解法:
线积分法: Φ ( x , y ) = ∫ x 0 x P ( x , y ) d x + ∫ y 0 y Q ( x , y ) d y \Phi(x,y)=\int_{x_0}^x P(x,y)dx+\int_{y_0}^y Q(x,y)dy Φ(x,y)=∫
x
0
x
P(x,y)dx+∫
y
0
y
Q(x,y)dy或 Φ ( x , y ) = ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \Phi(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} P(x,y)dx+Q(x,y)dy Φ(x,y)=∫
(x
0
,y
0
)
(x,y)
P(x,y)dx+Q(x,y)dy
偏积分法: ∂ Φ ∂ x = P ( x , y ) , ∂ Φ ∂ y = Q ( x , y ) \frac{\partial \Phi}{\partial x}=P(x,y), \frac{\partial \Phi}{\partial y}=Q(x,y)
∂x
∂Φ
=P(x,y),
∂y
∂Φ
=Q(x,y),第一个等式对 x x x积分得 Φ ( x , y ) = ∫ P ( x , y ) d x + ψ ( y ) \Phi (x,y)=\int P(x,y)dx+\psi (y) Φ(x,y)=∫P(x,y)dx+ψ(y),代入第二个等式求 ψ ( y ) \psi(y) ψ(y),即可得 Φ ( x , y ) \Phi(x,y) Φ(x,y)
凑微分法:凑微分得 Φ ( x , y ) \Phi(x,y) Φ(x,y
两边同除以e^t,整理可得 tdx+xdt=tdt
即 d(xt)=d(1/2t^2)
积分可得 xt=1/2t^2+C (C为任意常数)
带入t=lny,得 xlny=1/2 (lny)^2 + C (C为任意常数)
故该微分方程的解为xlny=1/2 (lny)^2 + C (C为任意常数
1 微分方程
要了解微分方程,得从微分说起,微分的核心是变化率。就比如速度 v = d x d t v=\frac{dx}{dt} v=
dt
dx
,即每一时刻距离的变化;而加速度 a = d v d t a=\frac{dv}{dt} a=
dt
dv
,即每一时刻速度的变化。
有了这个概念后,我们再来看微分方程,简单来说就是由变化率构成的一个方程。其使用场景为:描述相对变量比绝对量更容易时。
微分方程分为两部分:
常微分方程(Ordinary Differential Equations, ODE):函数自变量只有一个,如: y ′ ( x ) = p y + q y'(x)=py+q y
′
(x)=py+q。
偏微分方程(Partial Differential Equations, PDE):函数有多个自变量,如: ∂ T ∂ t ( x , y , t ) = ∂ 2 T ∂ x 2 ( x , y , t ) + ∂ 2 T ∂ y 2 ( x , y , t ) \frac{\partial T}{\partial t}(x,y,t)=\frac{\partial^2T}{\partial x^2}(x,y,t)+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}(x,y,t)
∂t
∂T
(x,y,t)=
∂x
2
∂
2
T
(x,y,t)+
∂y
2
∂
2
T
(x,y,t)
微分方程也可以分为一阶方程和高阶方程,具体的组成(解法)如下图:
微分方程
2 一阶方程
2.1 一阶线性微分方程
形如:
y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y'+p(x)y=q(x)
y
′
+p(x)y=q(x)
若:
q ( x ) = 0 q(x)=0 q(x)=0,则是一阶线性齐次微分方程;
q ( x ) ≠ 0 q(x)≠0 q(x)
=0,则是一阶线性非齐次微分方程;
通解:
y = e − ∫ p ( x ) d x [ ∫ q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x + c ] y=e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c]
y=e
−∫p(x)dx
[∫q(x)e
∫p(x)dx
dx+c]
2.2 变量可分离
形如:
∫ g ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x \int g(y)dy=\int f(x)dx
∫g(y)dy=∫f(x)dx
解法:
d y d x = g ( y ) f ( x ) → G ( y ) = F ( x ) + c \frac{dy}{dx}=\frac{g(y)}{f(x)} \rightarrow G(y)=F(x)+c
dx
dy
=
f(x)
g(y)
→G(y)=F(x)+c
就是将 d y dy dy与 d x dx dx移到一边,其余的移动到另外一边。
2.3 齐次方程
形如:
d y d x = f ( y x ) \frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})
dx
dy
=f(
x
y
)
解法:
令 y x = u \frac{y}{x}=u
x
y
=u,则 d y = u d x + x d u dy=udx+xdu dy=udx+xdu
代入原方程。
2.4 伯努利方程
形如:
y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y n y'+p(x)y=q(x)y^n
y
′
+p(x)y=q(x)y
n
解法:
等式两边同时除 y n y^n y
n
,得到 y − n y ′ + y 1 − n p ( x ) = q ( x ) y^{-n}y'+y^{1-n}p(x)=q(x) y
−n
y
′
+y
1−n
p(x)=q(x)
令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y
1−n
=u;
对第二步结果求导得: ( 1 − n ) y − n y ′ = d u d x → y − n y ′ = u ′ 1 − n = 1 1 − n d u d x (1-n)y^{-n}y'=\frac{du}{dx} \rightarrow y^{-n}y'=\frac{u'}{1-n}=\frac{1}{1-n}\frac{du}{dx} (1−n)y
−n
y
′
=
dx
du
→y
−n
y
′
=
1−n
u
′
=
1−n
1
dx
du
;
将步骤3结果与步骤2结果代入步骤1: 1 1 − n d u d x + u p ( x ) = q ( x ) \frac{1}{1-n} \frac{du}{dx}+up(x)=q(x)
1−n
1
dx
du
+up(x)=q(x);
接着依据步骤4的情况来选择使用什么通解公式求解。
2.5 全微分方程
形如:
P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
就是说函数 P P P和函数 Q Q Q都是包含了 x x x和 y y y的。
解法:
线积分法: Φ ( x , y ) = ∫ x 0 x P ( x , y ) d x + ∫ y 0 y Q ( x , y ) d y \Phi(x,y)=\int_{x_0}^x P(x,y)dx+\int_{y_0}^y Q(x,y)dy Φ(x,y)=∫
x
0
x
P(x,y)dx+∫
y
0
y
Q(x,y)dy或 Φ ( x , y ) = ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \Phi(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} P(x,y)dx+Q(x,y)dy Φ(x,y)=∫
(x
0
,y
0
)
(x,y)
P(x,y)dx+Q(x,y)dy
偏积分法: ∂ Φ ∂ x = P ( x , y ) , ∂ Φ ∂ y = Q ( x , y ) \frac{\partial \Phi}{\partial x}=P(x,y), \frac{\partial \Phi}{\partial y}=Q(x,y)
∂x
∂Φ
=P(x,y),
∂y
∂Φ
=Q(x,y),第一个等式对 x x x积分得 Φ ( x , y ) = ∫ P ( x , y ) d x + ψ ( y ) \Phi (x,y)=\int P(x,y)dx+\psi (y) Φ(x,y)=∫P(x,y)dx+ψ(y),代入第二个等式求 ψ ( y ) \psi(y) ψ(y),即可得 Φ ( x , y ) \Phi(x,y) Φ(x,y)
凑微分法:凑微分得 Φ ( x , y ) \Phi(x,y) Φ(x,y
展开全部
求微分方程ylnydx+(x-lny)dy=0的通解?解:先求ylnydx+xdy=0通解,
它的通解是x=c/lny
(c是常数)。
再求原方程通解,
根据x=c/lny,设原方程通解为x=c(y)/lny。
==>c'(y)=lny/y
==>c(y)=ln²y/2+c
(c是常数)。
故x=lny/2+c/lny
它的通解是x=c/lny
(c是常数)。
再求原方程通解,
根据x=c/lny,设原方程通解为x=c(y)/lny。
==>c'(y)=lny/y
==>c(y)=ln²y/2+c
(c是常数)。
故x=lny/2+c/lny
本回答被网友采纳
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
展开全部
设u=ln| ln y|,
dx+(x-e^u)d u=0,
dx/du+x=e^u
x=1/2 e^u-C e^(-u)
=1/2 lny-C/ln y
dx+(x-e^u)d u=0,
dx/du+x=e^u
x=1/2 e^u-C e^(-u)
=1/2 lny-C/ln y
更多追问追答
追问
请问第三个等号和第四个等号中间是怎么推导的?谢谢
追答
dx/du+x=e^u
这是一阶微分方程。
本回答被网友采纳
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
展开全部
平时需要好好的积累学习就知道微分方程公
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
展开全部
移项 xdx还有ydy放一块 求特解 根据特解 就可以求通解了
追问
可以给出具体过程吗谢谢
追答
亲 我都已经上床了 加我QQ331218095
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询