Question

求微分方程ylnydx+(x-lny)dy=0的通解

Answer 1

令y=e^t, 则原式化为 t*e^tdx+(x-t)*e^tdt=0

两边同除以e^t,整理可得 tdx+xdt=tdt
即 d(xt)=d(1/2t^2)
积分可得 xt=1/2t^2+C （C为任意常数）
带入t=lny,得 xlny=1/2 (lny)^2 + C （C为任意常数）
故该微分方程的解为xlny=1/2 (lny)^2 + C （C为任意常数
1 微分方程
要了解微分方程，得从微分说起，微分的核心是变化率。就比如速度 v = d x d t v=\frac{dx}{dt} v=
dt
dx
​
，即每一时刻距离的变化；而加速度 a = d v d t a=\frac{dv}{dt} a=
dt
dv
​
，即每一时刻速度的变化。

有了这个概念后，我们再来看微分方程，简单来说就是由变化率构成的一个方程。其使用场景为：描述相对变量比绝对量更容易时。

微分方程分为两部分：

常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）：函数自变量只有一个，如： y ′ ( x ) = p y + q y'(x)=py+q y
′
(x)=py+q。
偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）：函数有多个自变量，如： ∂ T ∂ t ( x , y , t ) = ∂ 2 T ∂ x 2 ( x , y , t ) + ∂ 2 T ∂ y 2 ( x , y , t ) \frac{\partial T}{\partial t}(x,y,t)=\frac{\partial^2T}{\partial x^2}(x,y,t)+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}(x,y,t)
∂t
∂T
​
(x,y,t)=
∂x
2

∂
2
T
​
(x,y,t)+
∂y
2

∂
2
T
​
(x,y,t)
微分方程也可以分为一阶方程和高阶方程，具体的组成（解法）如下图：
微分方程

2 一阶方程
2.1 一阶线性微分方程
形如：

y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y'+p(x)y=q(x)
y
′
+p(x)y=q(x)

若：

q ( x ) = 0 q(x)=0 q(x)=0，则是一阶线性齐次微分方程；
q ( x ) ≠ 0 q(x)≠0 q(x)

​
=0，则是一阶线性非齐次微分方程；
通解：
y = e − ∫ p ( x ) d x [ ∫ q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x + c ] y=e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c]
y=e
−∫p(x)dx
[∫q(x)e
∫p(x)dx
dx+c]

2.2 变量可分离
形如：
∫ g ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x \int g(y)dy=\int f(x)dx
∫g(y)dy=∫f(x)dx

解法：
d y d x = g ( y ) f ( x ) → G ( y ) = F ( x ) + c \frac{dy}{dx}=\frac{g(y)}{f(x)} \rightarrow G(y)=F(x)+c
dx
dy
​
=
f(x)
g(y)
​
→G(y)=F(x)+c

就是将 d y dy dy与 d x dx dx移到一边，其余的移动到另外一边。

2.3 齐次方程
形如：
d y d x = f ( y x ) \frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})
dx
dy
​
=f(
x
y
​
)

解法：

令 y x = u \frac{y}{x}=u
x
y
​
=u，则 d y = u d x + x d u dy=udx+xdu dy=udx+xdu
代入原方程。
2.4 伯努利方程
形如：
y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y n y'+p(x)y=q(x)y^n
y
′
+p(x)y=q(x)y
n

解法：

等式两边同时除 y n y^n y
n
，得到 y − n y ′ + y 1 − n p ( x ) = q ( x ) y^{-n}y'+y^{1-n}p(x)=q(x) y
−n
y
′
+y
1−n
p(x)=q(x)
令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y
1−n
=u；
对第二步结果求导得： ( 1 − n ) y − n y ′ = d u d x → y − n y ′ = u ′ 1 − n = 1 1 − n d u d x (1-n)y^{-n}y'=\frac{du}{dx} \rightarrow y^{-n}y'=\frac{u'}{1-n}=\frac{1}{1-n}\frac{du}{dx} (1−n)y
−n
y
′
=
dx
du
​
→y
−n
y
′
=
1−n
u
′

​
=
1−n
1
​

dx
du
​
;
将步骤3结果与步骤2结果代入步骤1： 1 1 − n d u d x + u p ( x ) = q ( x ) \frac{1}{1-n} \frac{du}{dx}+up(x)=q(x)
1−n
1
​

dx
du
​
+up(x)=q(x)；
接着依据步骤4的情况来选择使用什么通解公式求解。
2.5 全微分方程
形如：
P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

就是说函数 P P P和函数 Q Q Q都是包含了 x x x和 y y y的。

解法：

线积分法： Φ ( x , y ) = ∫ x 0 x P ( x , y ) d x + ∫ y 0 y Q ( x , y ) d y \Phi(x,y)=\int_{x_0}^x P(x,y)dx+\int_{y_0}^y Q(x,y)dy Φ(x,y)=∫
x
0
​

x
​
P(x,y)dx+∫
y
0
​

y
​
Q(x,y)dy或 Φ ( x , y ) = ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \Phi(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} P(x,y)dx+Q(x,y)dy Φ(x,y)=∫
(x
0
​
,y
0
​
)
(x,y)
​
P(x,y)dx+Q(x,y)dy
偏积分法： ∂ Φ ∂ x = P ( x , y ) , ∂ Φ ∂ y = Q ( x , y ) \frac{\partial \Phi}{\partial x}=P(x,y), \frac{\partial \Phi}{\partial y}=Q(x,y)
∂x
∂Φ
​
=P(x,y),
∂y
∂Φ
​
=Q(x,y)，第一个等式对 x x x积分得 Φ ( x , y ) = ∫ P ( x , y ) d x + ψ ( y ) \Phi (x,y)=\int P(x,y)dx+\psi (y) Φ(x,y)=∫P(x,y)dx+ψ(y)，代入第二个等式求 ψ ( y ) \psi(y) ψ(y)，即可得 Φ ( x , y ) \Phi(x,y) Φ(x,y)
凑微分法：凑微分得 Φ ( x , y ) \Phi(x,y) Φ(x,y

Answer 2

求微分方程ylnydx+(x-lny)dy=0的通解？解：先求ylnydx+xdy=0通解，
它的通解是x=c/lny
(c是常数)。
再求原方程通解，
根据x=c/lny，设原方程通解为x=c(y)/lny。
==>c'(y)=lny/y
==>c(y)=ln²y/2+c
(c是常数)。
故x=lny/2+c/lny

Answer 3

设u=ln| ln y|,
dx+(x-e^u)d u=0,
dx/du+x=e^u
x=1/2 e^u-C e^(-u)
=1/2 lny-C/ln y

追问

请问第三个等号和第四个等号中间是怎么推导的？谢谢

追答

dx/du+x=e^u
这是一阶微分方程。

追问

然后呢。。我不知道怎么做。。

追答

一阶方程，很简单的，是基础知识。你是自学？

Answer 4

平时需要好好的积累学习就知道微分方程公

Answer 5

移项 xdx还有ydy放一块 求特解 根据特解 就可以求通解了

追问

可以给出具体过程吗谢谢

追答

亲 我都已经上床了 加我QQ331218095