Question

高等数学～三重积分***

Answer 1

答案为2π * [ 4a² - (6 + 2a²(- 3 + 6lna - 6ln²a + 4ln³a))/ln^4(a) ]

z = a^y，绕z轴旋转，z不变，y变为√(x² + y²)
a^√(x²+y²) ≤ z ≤ a²
D为x² + y² ≤ 4
∫∫∫_(Ω) (x² + y²) dxdydz，用柱坐标化简
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,2) rdr ∫(a^r,a²) r² dz
= 2π∫(0,2) r³ * (a² - a^r) dr，连续运用分部积分就可以了
= 2π * [ 4a² - (6 + 2a²(- 3 + 6lna - 6ln²a + 4ln³a))/ln^4(a) ]

这里只需要注意公式∫ a^r dr = a^r/lna

追问

好难积...