高二数学题,图片上的第七题
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第一个是√3-1:由直线y=
3
(x+c)可知斜率为
3
,可得直线的倾斜角α=60°.又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,可得∠MF2F1=30°,进而∠F1MF2=90°.
设|MF2|=m,|MF1|=n,利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得
m2+n2=(2c)2
m+n=2a
m=
3
n
,解出a,c即可.;第二个是(√2-1,1):设PF1=m,PF2=n
则n∈(a-c,a+c)
利用正弦定理:n/sin∠PF1F2=m/sin∠PF1F1
又∵ a/sin∠PF1F2=c/sin∠PF2F1
∴ n/a=m/c
∴ c/a=m/n=(2a-n)/n=2a/n -1
∴ e+1=2a/n
∴ 2/(e+1)=n/a∈(1-e,1+e)
2/(e+1)<1+e
∴ (e+1)²>2
∴ e-1<-√2或e+1>√2
∴ e<1-√2或e>√2-1
注意到0<e<1
∴ 椭圆的离心率的取值范围为√2-1<e<1。满意请采纳
3
(x+c)可知斜率为
3
,可得直线的倾斜角α=60°.又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,可得∠MF2F1=30°,进而∠F1MF2=90°.
设|MF2|=m,|MF1|=n,利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得
m2+n2=(2c)2
m+n=2a
m=
3
n
,解出a,c即可.;第二个是(√2-1,1):设PF1=m,PF2=n
则n∈(a-c,a+c)
利用正弦定理:n/sin∠PF1F2=m/sin∠PF1F1
又∵ a/sin∠PF1F2=c/sin∠PF2F1
∴ n/a=m/c
∴ c/a=m/n=(2a-n)/n=2a/n -1
∴ e+1=2a/n
∴ 2/(e+1)=n/a∈(1-e,1+e)
2/(e+1)<1+e
∴ (e+1)²>2
∴ e-1<-√2或e+1>√2
∴ e<1-√2或e>√2-1
注意到0<e<1
∴ 椭圆的离心率的取值范围为√2-1<e<1。满意请采纳
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