Question

已知不等式x^2-log(以a为底)x<0,当0<x<0.5时恒成立，求实数a的取值范围

已知不等式x^2-log(以a为底)x<0,当0<x<0.5时恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

郭敦顒回答：
∵x^2－log(以a为底)x<0，当0<x<0.5时恒成立，
∴x^2 < log(以a为底)x，
按换底公式log(以a为底)x= lgx/ lga，
∴lga= lgx/ log(以a为底)x，当x→0.5时，x^2→0.25，
log(以a为底)x＞0.25，lgx＜－0.3010299957，
∴lga＜－0.3010299957/0 .25=－1.20412，
a＜0.0625，
∴实数a的取值范围是：（0，0.0625）。

Answer 2

0<x²<log(a,x) => 0<a<1
∵0<x<0.5时，x²单调递增，log(a,x)单调递减
∴x²<log(a,x)恒成立，只需0.5²≤log(a,0.5)即可
即0<a≤0.25²=0.0625,
即a的取值范围为(0，0.0625]