数学高手看过来！！！高悬赏！！！我要初一期末考试了！给些难题！
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我的数学极其不好，基础题还可以，一碰到提高题，准犯懵！我们马上就要数学考试了，期末！我着急！我求各位大虾们给点提高题！！！！我是初一的，人教版，也学了初二的全等三角形和轴对称，我求大量提高题！先谢过了！！
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1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 48定理 四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论 任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=（a+b）÷2 S=L×h 83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） 94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS） 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等 115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角 121①直线L和⊙O相交 d＜r ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d＞r 122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137定理 把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长 142正三角形面积√3a／4 a表示边长 143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 144弧长计算公式：L=n兀R／180 145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2 146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) （还有一些，大家帮补充吧）
1．如图所示，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB=FC，AB=CD。求证：AF=DE。
分析：寻找AF、DE所在的三角形，首先证明ΔAFC≌ΔDEB。然后证明AF=DE。
证明：∵EB⊥AD（已知）
∴∠EBD=90°（垂直定义）同理可证∠FCA=90°，
∴∠EBD=∠FCA，
∵ AB=CD， BC=BC，
∴ AC=AB+BC=BC+CD=BD，
在ΔACF和ΔDBE中，
∴ΔACF≌ΔDBE（SAS），
∴AF=DE（全等三角形对应边相等）。
例2，如图，已知AB、CD互相平分于O，过O点引直线与AD、BC分别交于E、F点，求证：AE=BF。
分析：分析证明的思路，我们可以按两个方向进行：
（1）“由因导果”：由已知条件，已经可以证明哪几对三角形全等？由此可以得出哪些线段或角相等？能由此得到求证的结论吗？
在这道例题中，由已知条件，AO=BO，∠AOD=∠BOC，DO=CO，很快可用（SAS）证得△AOD≌△BOC，于是根据全等三角形的性质又可得AD=BC，∠A=∠B，∠D=∠C的结论，考虑到最终证明的结论，从这三个中间结果中选择最有效的转为新的三角形全等的条件：由于AE与BF分别处于△AOE和△BOF之中，于是选择∠A=∠B，作为新的条件，用（ASA）来证明△AOE≌△BOF，再用全等三角形性质得AE=BF。
（11）“由果索因”：根据求证目标，需证哪一对三角形全等；如果条件不够，能通过证另一对三角形全等提供条件吗？
在这道例题中，为了证明AE=BF，由于AE，BF分别在△AOE和△BOF中，可先考虑证明△AOE≌△BOF，已有OA=OB，∠AOE=∠BOF，所缺条件为∠A=∠B或OE=OF，再考虑∠A、∠B又分别在△AOD和△BOC中，看△AOD≌△BOC的条件是否具备，而根据题设证明这一对三角形全等却是很容易完成的。
这两种方法的思考，第一种代表“顺推”思路，而第二种代表“逆推”的思路，但不管哪一种思路，在证明过程的书写时，必须用顺推的方法书写证明。
证明：∵AB、CD互相平分于O（已知）
∴AO=BO，OC=OD（线段中点定义）
在△AOD和△BOC中
∵
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴∠A=∠B（全等三角形对应角相等）
在△AOE和△BOF中
∵
∴△AOE≌△BOF （ASA）
∴AE=BF（全等三角形的对应边相等）
例3，如图，AC、BD相交于E，AC=BD，AB=DC，求证：BE=CE。
分析：为了证明BE=CE，只要证明△ABE≌△DCE，在这两个三角形中，已有AB=DC，∠AEB=∠DEC，已有一角和所对边分别对应相等，还缺少一个条件，只能再寻找一对角的相等条件，很自然使我们将目光转向证明∠A=∠D，或∠B=∠C，如果要证明角等，图中已经不再有现成的全等三角形，结合条件，只需连结AD，辅助线AD成了两个三角形△ABD和△ACD的一条公共边，从题设构成了一对全等三角形；△ACD≌△DBA，由此找到了证明的完整思路。
证明的路线如下：
证明：连结AD。
在△ACD和△DBA中
∵
∴△ACD≌△DBA（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
在△ABE和△DCE中
∵
∴△ABE≌△DCE（AAS）
∴BE=CE（全等三角形对应边相等）
例4，求证：全等三角形的对应角的平分线相等。
分析：首先要分清命题中的题设和结论部分，从形式上看，题目中似乎只有结论部分，不知道题设应该写什么？实际上，任何一个数学命题都是一个完整的叙述，它们都是判断某一件事情的句子，
那么这一句子中必有被判断的对象及判断后得到的结果，那么这个被判断的对象就是命题的条件（题设），结果就是命题的结论。根据这个标准，例题中的题设应该是：两个全等三角形及其对应角的平分线。结论是：对应角的平分线相等。
分清了命题的题设与结论两部分，就可以把命题的内容画成相应的几何图形，以便用简单的符号代替文字叙述。此例题可以这样画图。画出两个全等三角形，△ABC和△A'B'C'，再做出一对对应角∠A∠A'的平分线AD和A'D'。
在画图时必须注意两点：（1）不要画出题中所没有的多余条件。如按本题要求，三角形只能画成任意三角形，而不要画成等腰三角形、等边三角形，以免干扰思维。（2）不忽略题中所指图形应有的性质。两个三角形全等的，就不应画出一大一小，或形状各异的两个三角形。
然后，结合图形，按每一概念的确切叙述写出已知，求证。
已知：△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，求证：AD=A'D'。
证明的路线如下：
证明：∵△ABC≌△A'B'C'（已知）
∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'（全等三角形的对应角相等）
AB=A'B'（全等三角形的对应边相等）
又∵AD、A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线（已知）
∴∠1=∠BAC，∠2=∠B'A'C'（角平分线定义）
∴∠1=∠2（等量之半相等）
在△ABD和△A'B'D'中
∵
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA）
∴AD=A'D'（全等三角形的对应边相等）
例5，求证：两个三角形的两边和第三边的中线对应相等的两个三角形的第三边也相等。
分析：题目的题设是两个三角形中有两边和第三边的中线对应相等，结论是这两个三角形的第三边相等。
已知△ABC和△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，D为BC中点，D'为B'C'中点，且AD=A'D'，求证：BC=B'C'
分析：由题设可知所给的已知条件不在同一个三角形中，要想充分利用
已知条件，就得想办法将这些分散的条件集中在一个三角形中。因为题目中有中线，常常采用作倍长中线的辅助线，这样创造出全等的三角形，再利用全等三角形的性质。这样达到将分散的条件集中在一个三角形中的目的，使问题向着可以解决的方向转化。
证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE，
延长A'D'到E'，使D'E'=A'D'，连结B'E'
∵AD=A'D'(已知)∴DE=D'E'（等量代换）
∵D为BC中点，D'为B'C'中点（已知）
∴BD=DC，B'D'=D'C'（线段中点定义）
在△ACD和△EBD中 在△A'C'D'和△E'B'D'中
∵ ∵
∴△ACD≌△EBD（SAS） ∴△A'C'D'≌△E'B'D'（SAS）
∴AC=BE(全等三角形对应边相等)
∴A'C'=B'E'(全等三角形对应边相等)
∴∠E=∠5(全等三角形对应角等)
∴∠E'=∠6（全等三角形对应角等）
∵AC=A'C'(已知)
∴BE=B'E'(等量代换)
∴2AD=AE，2A'D'=A'E'(等式性质)
∴AE=A'E'(等量代换)
在△ABE和△A'B'E'中
∵
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS)
∴∠7=∠8
∴∠E=∠E'(全等三角形的对应角相等)
又∵∠E=∠E'（已证）∠E=∠5，∠E'=∠6(已证)
∴∠5=∠6（等量代换）
∵∠7=∠8（已证）
∴∠7+∠5=∠8+∠6（等式性质）
即∠BAC=∠B'A'C'
在△BAC和△B'A'C'中
∵
∴△BAC≌△B'A'C' (SAS)
∴BC=B'C'
三、辅助线的做法： 在全等三角形这部分的证明中，已经开始需要添加辅助线，添加辅助线的基本思想就是添加辅助线，构造全等三角形，现在我们介绍一些添加辅助线的方法，供大家学习。
1、按照“中心对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形绕着它的一个顶点旋转180°，得到另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形(或者说，把一个三角形绕着某一个点旋转180°后 ，得到了另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形)．如下列基本图形。
说明：当几何问题中出现两条相等的线段在一组对顶角的两边且成一直线时，就可以添加中心对称型的全等三角形进行证明，添加的方法是过端点作平行线．或者按照上边的例题5的方法，截取相等的线段。
例析：如图，已知ΔABC中，AB＝AC，BD=CF．求证：DE＝EF．
分析一 这个题目要证明的结论是DE=EF．如图所示，这就出现了相等两线段在一组对顶角的两边，而且成一直线，在这种情况下，就可以添加一对中心对称型的全等三角形进行证明。添加的方法是过D作DG//AC，交BC于G，如图所示，那么ΔDGE和ΔFCE就一定是一对中心对称型的全等三角形。要证明这两个三角形全等就应抓住一组边相等的条件，而DE=EF是结论不能用，需要证明另一组边。
已知条件告诉我们CF=BD，所以就应该证明CF和它的对应边DG相等，如图所示，也就是证明DB=DG，而DG//AC，所以∠1=∠2，又已知AB=AC，所以∠2=∠B，因此∠1=∠B，那么DB=DG就可以证明了。
证明一：过D作DG//AC交BC于G。
∵DG//AC
∴∠1=∠2；∠3=∠4
∵AB=AC(三角形ABC为等腰三角形)
∴∠B=∠2
∴∠1=∠B，∴DG=DB=CF
在△DGE、△FCE中
∴△DGE≌△FCE
∴DE=EF
分析二：如下图所示，本题也可以过端点F作FH//AB交BC的延长线于H，补出一对中心对称型全等ΔBDE和ΔHFE。
证明二提示:与上一种证法基本一致,通过证明△EFH≌△EDB来证得DE=EF,注意使用BD//FH,推出角的关系.证明略.
说明：等腰三角形的两底角相等 ，在小学学过，今后还要研究。
2、按照“轴对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形沿着某一条直线翻转后与另一个三角形重合，那么这一对三角形就叫做轴对称型全等三角形。
基本图形：
当几何问题中出现两条相等的线段或两个相等的角关于某一线段或直线成轴对称时，就可以构造轴对称型的全等三角形进行证明。
例析：如图，在正方形ABCD的对角线AC上截取AE=AB，作EF⊥AC交BC于F。求证：EF=FB.
分析：本题目要证明的结论EF=FB。本题目已知中有AE=AB，又有∠AEF=∠B=90°，所以，连接AF构造△AEF、△ABF全等，容易证明。
证明：连接AF，在正方形ABCD中，∠B=90°，
∵ EF⊥AC
∴ ∠AEF=90°
在RT△AEF、RT△ABF中，
AE=AB
AF=AF
∴ RT△AEF≌RT△ABF (HL)
∴EF=BF.
祝你成功
1．如图所示，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB=FC，AB=CD。求证：AF=DE。
分析：寻找AF、DE所在的三角形，首先证明ΔAFC≌ΔDEB。然后证明AF=DE。
证明：∵EB⊥AD（已知）
∴∠EBD=90°（垂直定义）同理可证∠FCA=90°，
∴∠EBD=∠FCA，
∵ AB=CD， BC=BC，
∴ AC=AB+BC=BC+CD=BD，
在ΔACF和ΔDBE中，
∴ΔACF≌ΔDBE（SAS），
∴AF=DE（全等三角形对应边相等）。
例2，如图，已知AB、CD互相平分于O，过O点引直线与AD、BC分别交于E、F点，求证：AE=BF。
分析：分析证明的思路，我们可以按两个方向进行：
（1）“由因导果”：由已知条件，已经可以证明哪几对三角形全等？由此可以得出哪些线段或角相等？能由此得到求证的结论吗？
在这道例题中，由已知条件，AO=BO，∠AOD=∠BOC，DO=CO，很快可用（SAS）证得△AOD≌△BOC，于是根据全等三角形的性质又可得AD=BC，∠A=∠B，∠D=∠C的结论，考虑到最终证明的结论，从这三个中间结果中选择最有效的转为新的三角形全等的条件：由于AE与BF分别处于△AOE和△BOF之中，于是选择∠A=∠B，作为新的条件，用（ASA）来证明△AOE≌△BOF，再用全等三角形性质得AE=BF。
（11）“由果索因”：根据求证目标，需证哪一对三角形全等；如果条件不够，能通过证另一对三角形全等提供条件吗？
在这道例题中，为了证明AE=BF，由于AE，BF分别在△AOE和△BOF中，可先考虑证明△AOE≌△BOF，已有OA=OB，∠AOE=∠BOF，所缺条件为∠A=∠B或OE=OF，再考虑∠A、∠B又分别在△AOD和△BOC中，看△AOD≌△BOC的条件是否具备，而根据题设证明这一对三角形全等却是很容易完成的。
这两种方法的思考，第一种代表“顺推”思路，而第二种代表“逆推”的思路，但不管哪一种思路，在证明过程的书写时，必须用顺推的方法书写证明。
证明：∵AB、CD互相平分于O（已知）
∴AO=BO，OC=OD（线段中点定义）
在△AOD和△BOC中
∵
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴∠A=∠B（全等三角形对应角相等）
在△AOE和△BOF中
∵
∴△AOE≌△BOF （ASA）
∴AE=BF（全等三角形的对应边相等）
例3，如图，AC、BD相交于E，AC=BD，AB=DC，求证：BE=CE。
分析：为了证明BE=CE，只要证明△ABE≌△DCE，在这两个三角形中，已有AB=DC，∠AEB=∠DEC，已有一角和所对边分别对应相等，还缺少一个条件，只能再寻找一对角的相等条件，很自然使我们将目光转向证明∠A=∠D，或∠B=∠C，如果要证明角等，图中已经不再有现成的全等三角形，结合条件，只需连结AD，辅助线AD成了两个三角形△ABD和△ACD的一条公共边，从题设构成了一对全等三角形；△ACD≌△DBA，由此找到了证明的完整思路。
证明的路线如下：
证明：连结AD。
在△ACD和△DBA中
∵
∴△ACD≌△DBA（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
在△ABE和△DCE中
∵
∴△ABE≌△DCE（AAS）
∴BE=CE（全等三角形对应边相等）
例4，求证：全等三角形的对应角的平分线相等。
分析：首先要分清命题中的题设和结论部分，从形式上看，题目中似乎只有结论部分，不知道题设应该写什么？实际上，任何一个数学命题都是一个完整的叙述，它们都是判断某一件事情的句子，
那么这一句子中必有被判断的对象及判断后得到的结果，那么这个被判断的对象就是命题的条件（题设），结果就是命题的结论。根据这个标准，例题中的题设应该是：两个全等三角形及其对应角的平分线。结论是：对应角的平分线相等。
分清了命题的题设与结论两部分，就可以把命题的内容画成相应的几何图形，以便用简单的符号代替文字叙述。此例题可以这样画图。画出两个全等三角形，△ABC和△A'B'C'，再做出一对对应角∠A∠A'的平分线AD和A'D'。
在画图时必须注意两点：（1）不要画出题中所没有的多余条件。如按本题要求，三角形只能画成任意三角形，而不要画成等腰三角形、等边三角形，以免干扰思维。（2）不忽略题中所指图形应有的性质。两个三角形全等的，就不应画出一大一小，或形状各异的两个三角形。
然后，结合图形，按每一概念的确切叙述写出已知，求证。
已知：△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，求证：AD=A'D'。
证明的路线如下：
证明：∵△ABC≌△A'B'C'（已知）
∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'（全等三角形的对应角相等）
AB=A'B'（全等三角形的对应边相等）
又∵AD、A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线（已知）
∴∠1=∠BAC，∠2=∠B'A'C'（角平分线定义）
∴∠1=∠2（等量之半相等）
在△ABD和△A'B'D'中
∵
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA）
∴AD=A'D'（全等三角形的对应边相等）
例5，求证：两个三角形的两边和第三边的中线对应相等的两个三角形的第三边也相等。
分析：题目的题设是两个三角形中有两边和第三边的中线对应相等，结论是这两个三角形的第三边相等。
已知△ABC和△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，D为BC中点，D'为B'C'中点，且AD=A'D'，求证：BC=B'C'
分析：由题设可知所给的已知条件不在同一个三角形中，要想充分利用
已知条件，就得想办法将这些分散的条件集中在一个三角形中。因为题目中有中线，常常采用作倍长中线的辅助线，这样创造出全等的三角形，再利用全等三角形的性质。这样达到将分散的条件集中在一个三角形中的目的，使问题向着可以解决的方向转化。
证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE，
延长A'D'到E'，使D'E'=A'D'，连结B'E'
∵AD=A'D'(已知)∴DE=D'E'（等量代换）
∵D为BC中点，D'为B'C'中点（已知）
∴BD=DC，B'D'=D'C'（线段中点定义）
在△ACD和△EBD中 在△A'C'D'和△E'B'D'中
∵ ∵
∴△ACD≌△EBD（SAS） ∴△A'C'D'≌△E'B'D'（SAS）
∴AC=BE(全等三角形对应边相等)
∴A'C'=B'E'(全等三角形对应边相等)
∴∠E=∠5(全等三角形对应角等)
∴∠E'=∠6（全等三角形对应角等）
∵AC=A'C'(已知)
∴BE=B'E'(等量代换)
∴2AD=AE，2A'D'=A'E'(等式性质)
∴AE=A'E'(等量代换)
在△ABE和△A'B'E'中
∵
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS)
∴∠7=∠8
∴∠E=∠E'(全等三角形的对应角相等)
又∵∠E=∠E'（已证）∠E=∠5，∠E'=∠6(已证)
∴∠5=∠6（等量代换）
∵∠7=∠8（已证）
∴∠7+∠5=∠8+∠6（等式性质）
即∠BAC=∠B'A'C'
在△BAC和△B'A'C'中
∵
∴△BAC≌△B'A'C' (SAS)
∴BC=B'C'
三、辅助线的做法： 在全等三角形这部分的证明中，已经开始需要添加辅助线，添加辅助线的基本思想就是添加辅助线，构造全等三角形，现在我们介绍一些添加辅助线的方法，供大家学习。
1、按照“中心对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形绕着它的一个顶点旋转180°，得到另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形(或者说，把一个三角形绕着某一个点旋转180°后 ，得到了另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形)．如下列基本图形。
说明：当几何问题中出现两条相等的线段在一组对顶角的两边且成一直线时，就可以添加中心对称型的全等三角形进行证明，添加的方法是过端点作平行线．或者按照上边的例题5的方法，截取相等的线段。
例析：如图，已知ΔABC中，AB＝AC，BD=CF．求证：DE＝EF．
分析一 这个题目要证明的结论是DE=EF．如图所示，这就出现了相等两线段在一组对顶角的两边，而且成一直线，在这种情况下，就可以添加一对中心对称型的全等三角形进行证明。添加的方法是过D作DG//AC，交BC于G，如图所示，那么ΔDGE和ΔFCE就一定是一对中心对称型的全等三角形。要证明这两个三角形全等就应抓住一组边相等的条件，而DE=EF是结论不能用，需要证明另一组边。
已知条件告诉我们CF=BD，所以就应该证明CF和它的对应边DG相等，如图所示，也就是证明DB=DG，而DG//AC，所以∠1=∠2，又已知AB=AC，所以∠2=∠B，因此∠1=∠B，那么DB=DG就可以证明了。
证明一：过D作DG//AC交BC于G。
∵DG//AC
∴∠1=∠2；∠3=∠4
∵AB=AC(三角形ABC为等腰三角形)
∴∠B=∠2
∴∠1=∠B，∴DG=DB=CF
在△DGE、△FCE中
∴△DGE≌△FCE
∴DE=EF
分析二：如下图所示，本题也可以过端点F作FH//AB交BC的延长线于H，补出一对中心对称型全等ΔBDE和ΔHFE。
证明二提示:与上一种证法基本一致,通过证明△EFH≌△EDB来证得DE=EF,注意使用BD//FH,推出角的关系.证明略.
说明：等腰三角形的两底角相等 ，在小学学过，今后还要研究。
2、按照“轴对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形沿着某一条直线翻转后与另一个三角形重合，那么这一对三角形就叫做轴对称型全等三角形。
基本图形：
当几何问题中出现两条相等的线段或两个相等的角关于某一线段或直线成轴对称时，就可以构造轴对称型的全等三角形进行证明。
例析：如图，在正方形ABCD的对角线AC上截取AE=AB，作EF⊥AC交BC于F。求证：EF=FB.
分析：本题目要证明的结论EF=FB。本题目已知中有AE=AB，又有∠AEF=∠B=90°，所以，连接AF构造△AEF、△ABF全等，容易证明。
证明：连接AF，在正方形ABCD中，∠B=90°，
∵ EF⊥AC
∴ ∠AEF=90°
在RT△AEF、RT△ABF中，
AE=AB
AF=AF
∴ RT△AEF≌RT△ABF (HL)
∴EF=BF.
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期末练习题
一、填空
1、解方程 时，首先把原方程分母中的小数化为整数，即原方
程化为： 依据是 ；
2、方程3x + a = 2x – 4的解是 x = 1，则a = ；
3、当x = 时，代数式 的值等于 – 1；
4、当k是一元一次方程 的解时，代数式k2 – 6k + 9的值为 ；
5、当m = 时，3|m| + 1与2|m| – 6 互为相反数；
6、兄弟二人的年龄和是21岁，哥哥比弟弟大5岁，问哥哥弟弟各是多少岁？
设哥哥的年龄是x岁，则弟弟是 或 岁，根据题意列方
程是 或 ；
7、用科学计数法表示下列各数：
149 000 000 = 361 000 000 =
8、写出下列用科学计数法表示的数的原数：
7.2×105 = 2.5×1013 =
二、解下列方程
1、 2、
3、 4、
三、列一元一次方程解应用题
1、一种产品现在的成本是37.4元，比原来降低了15%，原来的成本是多少？
2、初一年级三班有学生52人，其中男生是女生的2倍少8人，求男女生各多少人？
3、甲、乙二人练习短跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，甲经
过几秒可以追上乙？
4、某项工作，甲单独做3小时完成，乙单独做5小时完成，两人合作这项工作的 ，几
小时完成？
5、某人存5000元的三年期存款，三年后得到利息405元，求三年期存款的年得率。
6、一只船，载重量是800吨，容积是795立方米，现在要装铁和棉花两种货物，铁每吨
体积是0.3立方米，棉花每吨是4立方米，铁和棉花各装多少吨才能充分利用船的载
重量和容积？
四、完成下列各题
1、从下列两个统计图中，你能看出哪一个学校的女生人数多吗？为什么？
女生
50%
女生
40%
男生
60%
男生
50%
甲校
乙校
2、制作适当的统计图表示下列数据：
1）对1000人调查他们对某歌星的喜欢程度，得到如下的结果：
喜欢程度
很喜欢
较喜欢
不喜欢
总 计
人 数
625
250
125
1000
2）1949年以后我国历次人口普查情况
年 份
1953
1964
1982
1990
2000
人口/亿
5.94
6.95
10.08
11.34
12.95
请你先选择一个统计图： 图是第1）题， 图是第二题（填甲、乙、丙）。然后完成它。
3
6
6
9
12
3
6
6
9
12
甲图
乙图
丙图
以及另一套题~~~
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1、假定未拧紧的水龙头每秒钟渗出2滴水，每滴水约0.05毫升，现有一个水龙头未拧紧，4小时后，才被发现拧紧，在这段时间内，水龙头共滴水约（ ）（用科学记数法表示，结果保留两位有效数字）
（A）1440毫升。 （B） 毫升。 （C） 毫升。 （D） 毫升。
2、如图1，直线L与∠O的两边分别交于点A、B，则图中以O、A、B为端点的射线的条数总和是（ ）。
（A）5． （B）6. （C）7. (D)8.
3、整数a,b满足：ab≠O且a+b＝O，有以下判断：
○1a,b之间没有正分数； ○2a,b之间没有负分数；
○3a,b之间至多有一个整数； ○4a,b之间至少有一个整数 。
其中，正确判断的个数为（ ）
（A）1． （B）2. (C)3. (D)4.
4、 方程 的解是 x＝（ ）
（A） （B） (C) (D)
5、如图2，边长为1的正六边形纸片是轴对称图形，它的对称轴的条数是（ ）。
（A）1. (B)3. (C)6. (D)9.
6、在9个数：－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3中，能使不等式－3 ＜－14成立的数的个数是（ ）
（A）2. (B)3. (C)4. (D)5.
7、韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图3（a）放置，然后又如图3（b）放置，则图3（b）中四个底面正方形中的点数之和为（ ）
（A）11. (B)13. (C)14. (D)16.
图3
8、对于彼此互质的三个正整数 ，有以下判断：
① 均为奇数 ② 中必有一个偶数 ③ 没有公因数 ④ 必有公因数
其中，不正确的判断的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
9、将棱长为1厘米的42个立方体积木拼在一起，构成一个实心的长方体。如果长方体底面的周长为18厘米，那么这个长方体的高是（ ）
（A）2厘米 （B）3厘米 （C）6厘米 （D）7厘米
10、If 0小于c小于b小于a ,then ( )
(A)c+a分之b+a大于等于c分之b大于等于c-a分之b-a(B)b-c分之a-c大于等于b分之a大于等于b+c分之a+c(C)c-a分之b-a大于等于c分之b大于等于c+a分之b+a(D)b+c分之a+c大于等于b分之a大于等于b-c分之a-c
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
11、 若有理数 满足 ，则
12、 今天（2007年4月15日，星期日）是第18届“希望杯”全国数学邀请赛举行第2试的日子，那么几天以后的第 天是星期
13、 孔子诞生在公元前551年9月28日，则2007年9月28日是孔子诞辰 周年。（注：不存在公元0年）
14、In Fig。4，ABCD is a rectangle.，The area of the shaded rectangle is
15、 下表是某中学初一（5）班2007年第一学期期末考试数学成绩统计表：
分数 40------59 60-------70 71-------85 86------100
人数 5 19 12 14
这个班数学成绩的平均分不低于 分，不高于 分。（精确到 ）
16、 已知 ，其中 代表非0数字，那么
17、 某城市有一百万户居民，每户用水量定额为月平均5吨，由于6，7，8月天热，每户每月多用水1吨，为了不超过全年用水定额，则全年的其它月份每户的用水量应控制在每月平均 吨之内。如果每户每天节约用水2千克，则全市一年（按365天计）节约的水量约占全年用水定额的 %（保留三位有效数字）
18、a，b，c，都是质数，且满足a+b+c+abc=99，则/a分之一减b分之一/+/b分之一减c分之一/+/c分之一减a分之一/= （/……/代表绝对值）
19、 一项机械加工作业，用4台A型车床，5天可以完成：用4台A型车床和2台B型车床，3天可以完成；用3台B型车床和9台C型车床，2天可以完成。若A型、B型和C型车床各一台一起工作6天后，只余下一台A型车床继续工作，则再用 天就可以完成这项作业
20、 设 ，则 和 四个式子中，值最大的是
值最小的是
三、解答题（本大题共3小题，共40分） 要求：写出推算过程。
21、 （本题满分10分）
小明在平面上标出了2007个点并画了一条直线L，他发现：这2007个点中的每一点关于直线L的对称点，仍在这2007个点中，请你说明：这2007个点中至少有1个点在直线L上。
22、 （本题满分15分）
小明和哥哥在环形跑道上练习长跑。他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次。现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小明，并且比小明多跑了20圈，求：
（1） 哥哥速度是小明速度的多少倍？
（2） 哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？
23、 （本题满分15分）
满足1＋3n≤2007，且使得1＋5n是完全平方数的正整数n共有多少个？
答案：
一、 选择题（每小题4分。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C C C D C B D
二、 填空题（每小题4分；两个空的小题，每个空2分。）
11 ：负三分之二 12：三 13：2257 14：18 15：67；9；80；9 16：98 17：四又三分之二；1.22 18：十九分之十七 19：2 20：a分之一；a+b分之一
三．解答题
21．假设这2007个点都不在直线L上，由于其中每个点 （i＝1，2，……，2007）关于直线L的对称点 仍在这2007个点中，所以 不在直线L上。
也就是说，不在直线L上点 （i＝1，2，……，2007）与 关于直线L对称的点 成对出现，即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数2007相矛盾！
因此，“这2007个点都不在直线L上”的假设不能成立，即这2007个点中至少有1个点在直线L上。
22．设哥哥的速度是 米/秒，小明的速度是 米/秒。环形跑道长s米。
（1）由“经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑了20圈”，知
经过 分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑了1圈。所以
整理，得，
所以， .
(2)根据题意，得
即 解得，
故经过了25分钟小明跑了
（2）另解 由 ，知小明每跑1圈，哥哥就比小明多跑1圈，所以当哥哥比小明多跑20圈时，小明也跑了20圈。
23．由条件1＋3n≤2007得
n≤668,n是正整数。
设1＋5n＝ （m是正整数），则
，这是正整数。
故可设m＋1＝5k，或m-1=5k（k是正整数）
○1当m+1=5k是， ，由
，得，k≤11
当k=12时， ＞668。
所以，此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数；
○2当m－1＝5k时， ，
又 ＜ ，且当k＝11时 ＜668，
所以，此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数。
因此，满足1＋3n≤2007且使1＋5n使完全平方数的正整数n共有22个。
还有点儿证图题~~~~~
1．如图所示，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB=FC，AB=CD。求证：AF=DE。
分析：寻找AF、DE所在的三角形，首先证明ΔAFC≌ΔDEB。然后证明AF=DE。
证明：∵EB⊥AD（已知）
∴∠EBD=90°（垂直定义）同理可证∠FCA=90°，
∴∠EBD=∠FCA，
∵ AB=CD， BC=BC，
∴ AC=AB+BC=BC+CD=BD，
在ΔACF和ΔDBE中，
∴ΔACF≌ΔDBE（SAS），
∴AF=DE（全等三角形对应边相等）。
例2，如图，已知AB、CD互相平分于O，过O点引直线与AD、BC分别交于E、F点，求证：AE=BF。
分析：分析证明的思路，我们可以按两个方向进行：
（1）“由因导果”：由已知条件，已经可以证明哪几对三角形全等？由此可以得出哪些线段或角相等？能由此得到求证的结论吗？
在这道例题中，由已知条件，AO=BO，∠AOD=∠BOC，DO=CO，很快可用（SAS）证得△AOD≌△BOC，于是根据全等三角形的性质又可得AD=BC，∠A=∠B，∠D=∠C的结论，考虑到最终证明的结论，从这三个中间结果中选择最有效的转为新的三角形全等的条件：由于AE与BF分别处于△AOE和△BOF之中，于是选择∠A=∠B，作为新的条件，用（ASA）来证明△AOE≌△BOF，再用全等三角形性质得AE=BF。
（11）“由果索因”：根据求证目标，需证哪一对三角形全等；如果条件不够，能通过证另一对三角形全等提供条件吗？
在这道例题中，为了证明AE=BF，由于AE，BF分别在△AOE和△BOF中，可先考虑证明△AOE≌△BOF，已有OA=OB，∠AOE=∠BOF，所缺条件为∠A=∠B或OE=OF，再考虑∠A、∠B又分别在△AOD和△BOC中，看△AOD≌△BOC的条件是否具备，而根据题设证明这一对三角形全等却是很容易完成的。
这两种方法的思考，第一种代表“顺推”思路，而第二种代表“逆推”的思路，但不管哪一种思路，在证明过程的书写时，必须用顺推的方法书写证明。
证明：∵AB、CD互相平分于O（已知）
∴AO=BO，OC=OD（线段中点定义）
在△AOD和△BOC中
∵
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴∠A=∠B（全等三角形对应角相等）
在△AOE和△BOF中
∵
∴△AOE≌△BOF （ASA）
∴AE=BF（全等三角形的对应边相等）
例3，如图，AC、BD相交于E，AC=BD，AB=DC，求证：BE=CE。
分析：为了证明BE=CE，只要证明△ABE≌△DCE，在这两个三角形中，已有AB=DC，∠AEB=∠DEC，已有一角和所对边分别对应相等，还缺少一个条件，只能再寻找一对角的相等条件，很自然使我们将目光转向证明∠A=∠D，或∠B=∠C，如果要证明角等，图中已经不再有现成的全等三角形，结合条件，只需连结AD，辅助线AD成了两个三角形△ABD和△ACD的一条公共边，从题设构成了一对全等三角形；△ACD≌△DBA，由此找到了证明的完整思路。
证明的路线如下：
证明：连结AD。
在△ACD和△DBA中
∵
∴△ACD≌△DBA（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
在△ABE和△DCE中
∵
∴△ABE≌△DCE（AAS）
∴BE=CE（全等三角形对应边相等）
例4，求证：全等三角形的对应角的平分线相等。
分析：首先要分清命题中的题设和结论部分，从形式上看，题目中似乎只有结论部分，不知道题设应该写什么？实际上，任何一个数学命题都是一个完整的叙述，它们都是判断某一件事情的句子，
那么这一句子中必有被判断的对象及判断后得到的结果，那么这个被判断的对象就是命题的条件（题设），结果就是命题的结论。根据这个标准，例题中的题设应该是：两个全等三角形及其对应角的平分线。结论是：对应角的平分线相等。
分清了命题的题设与结论两部分，就可以把命题的内容画成相应的几何图形，以便用简单的符号代替文字叙述。此例题可以这样画图。画出两个全等三角形，△ABC和△A'B'C'，再做出一对对应角∠A∠A'的平分线AD和A'D'。
在画图时必须注意两点：（1）不要画出题中所没有的多余条件。如按本题要求，三角形只能画成任意三角形，而不要画成等腰三角形、等边三角形，以免干扰思维。（2）不忽略题中所指图形应有的性质。两个三角形全等的，就不应画出一大一小，或形状各异的两个三角形。
然后，结合图形，按每一概念的确切叙述写出已知，求证。
已知：△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，求证：AD=A'D'。
证明的路线如下：
证明：∵△ABC≌△A'B'C'（已知）
∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'（全等三角形的对应角相等）
AB=A'B'（全等三角形的对应边相等）
又∵AD、A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线（已知）
∴∠1=∠BAC，∠2=∠B'A'C'（角平分线定义）
∴∠1=∠2（等量之半相等）
在△ABD和△A'B'D'中
∵
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA）
∴AD=A'D'（全等三角形的对应边相等）
例5，求证：两个三角形的两边和第三边的中线对应相等的两个三角形的第三边也相等。
分析：题目的题设是两个三角形中有两边和第三边的中线对应相等，结论是这两个三角形的第三边相等。
已知△ABC和△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，D为BC中点，D'为B'C'中点，且AD=A'D'，求证：BC=B'C'
分析：由题设可知所给的已知条件不在同一个三角形中，要想充分利用
已知条件，就得想办法将这些分散的条件集中在一个三角形中。因为题目中有中线，常常采用作倍长中线的辅助线，这样创造出全等的三角形，再利用全等三角形的性质。这样达到将分散的条件集中在一个三角形中的目的，使问题向着可以解决的方向转化。
证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE，
延长A'D'到E'，使D'E'=A'D'，连结B'E'
∵AD=A'D'(已知)∴DE=D'E'（等量代换）
∵D为BC中点，D'为B'C'中点（已知）
∴BD=DC，B'D'=D'C'（线段中点定义）
在△ACD和△EBD中 在△A'C'D'和△E'B'D'中
∵ ∵
∴△ACD≌△EBD（SAS） ∴△A'C'D'≌△E'B'D'（SAS）
∴AC=BE(全等三角形对应边相等)
∴A'C'=B'E'(全等三角形对应边相等)
∴∠E=∠5(全等三角形对应角等)
∴∠E'=∠6（全等三角形对应角等）
∵AC=A'C'(已知)
∴BE=B'E'(等量代换)
∴2AD=AE，2A'D'=A'E'(等式性质)
∴AE=A'E'(等量代换)
在△ABE和△A'B'E'中
∵
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS)
∴∠7=∠8
∴∠E=∠E'(全等三角形的对应角相等)
又∵∠E=∠E'（已证）∠E=∠5，∠E'=∠6(已证)
∴∠5=∠6（等量代换）
∵∠7=∠8（已证）
∴∠7+∠5=∠8+∠6（等式性质）
即∠BAC=∠B'A'C'
在△BAC和△B'A'C'中
∵
∴△BAC≌△B'A'C' (SAS)
∴BC=B'C'
三、辅助线的做法： 在全等三角形这部分的证明中，已经开始需要添加辅助线，添加辅助线的基本思想就是添加辅助线，构造全等三角形，现在我们介绍一些添加辅助线的方法，供大家学习。
1、按照“中心对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形绕着它的一个顶点旋转180°，得到另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形(或者说，把一个三角形绕着某一个点旋转180°后 ，得到了另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形)．如下列基本图形。
说明：当几何问题中出现两条相等的线段在一组对顶角的两边且成一直线时，就可以添加中心对称型的全等三角形进行证明，添加的方法是过端点作平行线．或者按照上边的例题5的方法，截取相等的线段。
例析：如图，已知ΔABC中，AB＝AC，BD=CF．求证：DE＝EF．
分析一 这个题目要证明的结论是DE=EF．如图所示，这就出现了相等两线段在一组对顶角的两边，而且成一直线，在这种情况下，就可以添加一对中心对称型的全等三角形进行证明。添加的方法是过D作DG//AC，交BC于G，如图所示，那么ΔDGE和ΔFCE就一定是一对中心对称型的全等三角形。要证明这两个三角形全等就应抓住一组边相等的条件，而DE=EF是结论不能用，需要证明另一组边。
已知条件告诉我们CF=BD，所以就应该证明CF和它的对应边DG相等，如图所示，也就是证明DB=DG，而DG//AC，所以∠1=∠2，又已知AB=AC，所以∠2=∠B，因此∠1=∠B，那么DB=DG就可以证明了。
证明一：过D作DG//AC交BC于G。
∵DG//AC
∴∠1=∠2；∠3=∠4
∵AB=AC(三角形ABC为等腰三角形)
∴∠B=∠2
∴∠1=∠B，∴DG=DB=CF
在△DGE、△FCE中
∴△DGE≌△FCE
∴DE=EF
分析二：如下图所示，本题也可以过端点F作FH//AB交BC的延长线于H，补出一对中心对称型全等ΔBDE和ΔHFE。
证明二提示:与上一种证法基本一致,通过证明△EFH≌△EDB来证得DE=EF,注意使用BD//FH,推出角的关系.证明略.
说明：等腰三角形的两底角相等 ，在小学学过，今后还要研究。
2、按照“轴对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形沿着某一条直线翻转后与另一个三角形重合，那么这一对三角形就叫做轴对称型全等三角形。
基本图形：
当几何问题中出现两条相等的线段或两个相等的角关于某一线段或直线成轴对称时，就可以构造轴对称型的全等三角形进行证明。
例析：如图，在正方形ABCD的对角线AC上截取AE=AB，作EF⊥AC交BC于F。求证：EF=FB.
分析：本题目要证明的结论EF=FB。本题目已知中有AE=AB，又有∠AEF=∠B=90°，所以，连接AF构造△AEF、△ABF全等，容易证明。
证明：连接AF，在正方形ABCD中，∠B=90°，
∵ EF⊥AC
∴ ∠AEF=90°
在RT△AEF、RT△ABF中，
AE=AB
AF=AF
∴ RT△AEF≌RT△ABF (HL)
∴EF=BF.
＆一点儿基础题
求证：任何五个连续整数之和都能被5整除
2.已知x.y.z为自然数，且x＜y，当x y=1999,z-x=2000时，求x y z的最大值．
3.17个连续整数的和是306，那么紧接着着17个数后面的17个连续整数的和是多少？
4.99＊998998999－998＊999999998
5.1＋1／3＋1／3的二次方＋＾＾＾＾＋1／3的十次方
6.2／2＋3／4＋4／8＋＾＾＾＾＾＋11／2的十次方
7.已知数－1，－2，－3，1，2，3，4，从中任取两个数作积，任去三个数作积，任去四个数作积，求所有这些积的和．
1.
(n+n+1+n+2+n+3+n+4)/5
=(5n+10)/5
=n+2
2.
xy=1999,
z-x=2000
xyz=1999(2000+x)=3998000+1999x
最大值为3998000+1999*44＝4085956
3.
17n+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16
=17n+(1+16)*16/2
=17n+17*8
=306
n=10
那么这17个数的最后一个数是186，紧接着着17个数后面的17个连续整数的和是17*（187+187+16）/2＝3315
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一、填空
1、解方程 时，首先把原方程分母中的小数化为整数，即原方
程化为： 依据是 ；
2、方程3x + a = 2x – 4的解是 x = 1，则a = ；
3、当x = 时，代数式 的值等于 – 1；
4、当k是一元一次方程 的解时，代数式k2 – 6k + 9的值为 ；
5、当m = 时，3|m| + 1与2|m| – 6 互为相反数；
6、兄弟二人的年龄和是21岁，哥哥比弟弟大5岁，问哥哥弟弟各是多少岁？
设哥哥的年龄是x岁，则弟弟是 或 岁，根据题意列方
程是 或 ；
7、用科学计数法表示下列各数：
149 000 000 = 361 000 000 =
8、写出下列用科学计数法表示的数的原数：
7.2×105 = 2.5×1013 =
二、解下列方程
1、 2、
3、 4、
三、列一元一次方程解应用题
1、一种产品现在的成本是37.4元，比原来降低了15%，原来的成本是多少？
2、初一年级三班有学生52人，其中男生是女生的2倍少8人，求男女生各多少人？
3、甲、乙二人练习短跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，甲经
过几秒可以追上乙？
4、某项工作，甲单独做3小时完成，乙单独做5小时完成，两人合作这项工作的 ，几
小时完成？
5、某人存5000元的三年期存款，三年后得到利息405元，求三年期存款的年得率。
6、一只船，载重量是800吨，容积是795立方米，现在要装铁和棉花两种货物，铁每吨
体积是0.3立方米，棉花每吨是4立方米，铁和棉花各装多少吨才能充分利用船的载
重量和容积？
四、完成下列各题
1、从下列两个统计图中，你能看出哪一个学校的女生人数多吗？为什么？
女生
50%
女生
40%
男生
60%
男生
50%
甲校
乙校
2、制作适当的统计图表示下列数据：
1）对1000人调查他们对某歌星的喜欢程度，得到如下的结果：
喜欢程度
很喜欢
较喜欢
不喜欢
总 计
人 数
625
250
125
1000
2）1949年以后我国历次人口普查情况
年 份
1953
1964
1982
1990
2000
人口/亿
5.94
6.95
10.08
11.34
12.95
请你先选择一个统计图： 图是第1）题， 图是第二题（填甲、乙、丙）。然后完成它。
3
6
6
9
12
3
6
6
9
12
甲图
乙图
丙图
以及另一套题~~~
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1、假定未拧紧的水龙头每秒钟渗出2滴水，每滴水约0.05毫升，现有一个水龙头未拧紧，4小时后，才被发现拧紧，在这段时间内，水龙头共滴水约（ ）（用科学记数法表示，结果保留两位有效数字）
（A）1440毫升。 （B） 毫升。 （C） 毫升。 （D） 毫升。
2、如图1，直线L与∠O的两边分别交于点A、B，则图中以O、A、B为端点的射线的条数总和是（ ）。
（A）5． （B）6. （C）7. (D)8.
3、整数a,b满足：ab≠O且a+b＝O，有以下判断：
○1a,b之间没有正分数； ○2a,b之间没有负分数；
○3a,b之间至多有一个整数； ○4a,b之间至少有一个整数 。
其中，正确判断的个数为（ ）
（A）1． （B）2. (C)3. (D)4.
4、 方程 的解是 x＝（ ）
（A） （B） (C) (D)
5、如图2，边长为1的正六边形纸片是轴对称图形，它的对称轴的条数是（ ）。
（A）1. (B)3. (C)6. (D)9.
6、在9个数：－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3中，能使不等式－3 ＜－14成立的数的个数是（ ）
（A）2. (B)3. (C)4. (D)5.
7、韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图3（a）放置，然后又如图3（b）放置，则图3（b）中四个底面正方形中的点数之和为（ ）
（A）11. (B)13. (C)14. (D)16.
图3
8、对于彼此互质的三个正整数 ，有以下判断：
① 均为奇数 ② 中必有一个偶数 ③ 没有公因数 ④ 必有公因数
其中，不正确的判断的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
9、将棱长为1厘米的42个立方体积木拼在一起，构成一个实心的长方体。如果长方体底面的周长为18厘米，那么这个长方体的高是（ ）
（A）2厘米 （B）3厘米 （C）6厘米 （D）7厘米
10、If 0小于c小于b小于a ,then ( )
(A)c+a分之b+a大于等于c分之b大于等于c-a分之b-a(B)b-c分之a-c大于等于b分之a大于等于b+c分之a+c(C)c-a分之b-a大于等于c分之b大于等于c+a分之b+a(D)b+c分之a+c大于等于b分之a大于等于b-c分之a-c
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
11、 若有理数 满足 ，则
12、 今天（2007年4月15日，星期日）是第18届“希望杯”全国数学邀请赛举行第2试的日子，那么几天以后的第 天是星期
13、 孔子诞生在公元前551年9月28日，则2007年9月28日是孔子诞辰 周年。（注：不存在公元0年）
14、In Fig。4，ABCD is a rectangle.，The area of the shaded rectangle is
15、 下表是某中学初一（5）班2007年第一学期期末考试数学成绩统计表：
分数 40------59 60-------70 71-------85 86------100
人数 5 19 12 14
这个班数学成绩的平均分不低于 分，不高于 分。（精确到 ）
16、 已知 ，其中 代表非0数字，那么
17、 某城市有一百万户居民，每户用水量定额为月平均5吨，由于6，7，8月天热，每户每月多用水1吨，为了不超过全年用水定额，则全年的其它月份每户的用水量应控制在每月平均 吨之内。如果每户每天节约用水2千克，则全市一年（按365天计）节约的水量约占全年用水定额的 %（保留三位有效数字）
18、a，b，c，都是质数，且满足a+b+c+abc=99，则/a分之一减b分之一/+/b分之一减c分之一/+/c分之一减a分之一/= （/……/代表绝对值）
19、 一项机械加工作业，用4台A型车床，5天可以完成：用4台A型车床和2台B型车床，3天可以完成；用3台B型车床和9台C型车床，2天可以完成。若A型、B型和C型车床各一台一起工作6天后，只余下一台A型车床继续工作，则再用 天就可以完成这项作业
20、 设 ，则 和 四个式子中，值最大的是
值最小的是
三、解答题（本大题共3小题，共40分） 要求：写出推算过程。
21、 （本题满分10分）
小明在平面上标出了2007个点并画了一条直线L，他发现：这2007个点中的每一点关于直线L的对称点，仍在这2007个点中，请你说明：这2007个点中至少有1个点在直线L上。
22、 （本题满分15分）
小明和哥哥在环形跑道上练习长跑。他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次。现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小明，并且比小明多跑了20圈，求：
（1） 哥哥速度是小明速度的多少倍？
（2） 哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？
23、 （本题满分15分）
满足1＋3n≤2007，且使得1＋5n是完全平方数的正整数n共有多少个？
答案：
一、 选择题（每小题4分。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C C C D C B D
二、 填空题（每小题4分；两个空的小题，每个空2分。）
11 ：负三分之二 12：三 13：2257 14：18 15：67；9；80；9 16：98 17：四又三分之二；1.22 18：十九分之十七 19：2 20：a分之一；a+b分之一
三．解答题
21．假设这2007个点都不在直线L上，由于其中每个点 （i＝1，2，……，2007）关于直线L的对称点 仍在这2007个点中，所以 不在直线L上。
也就是说，不在直线L上点 （i＝1，2，……，2007）与 关于直线L对称的点 成对出现，即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数2007相矛盾！
因此，“这2007个点都不在直线L上”的假设不能成立，即这2007个点中至少有1个点在直线L上。
22．设哥哥的速度是 米/秒，小明的速度是 米/秒。环形跑道长s米。
（1）由“经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑了20圈”，知
经过 分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑了1圈。所以
整理，得，
所以， .
(2)根据题意，得
即 解得，
故经过了25分钟小明跑了
（2）另解 由 ，知小明每跑1圈，哥哥就比小明多跑1圈，所以当哥哥比小明多跑20圈时，小明也跑了20圈。
23．由条件1＋3n≤2007得
n≤668,n是正整数。
设1＋5n＝ （m是正整数），则
，这是正整数。
故可设m＋1＝5k，或m-1=5k（k是正整数）
○1当m+1=5k是， ，由
，得，k≤11
当k=12时， ＞668。
所以，此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数；
○2当m－1＝5k时， ，
又 ＜ ，且当k＝11时 ＜668，
所以，此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数。
因此，满足1＋3n≤2007且使1＋5n使完全平方数的正整数n共有22个。
还有点儿证图题~~~~~
1．如图所示，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB=FC，AB=CD。求证：AF=DE。
分析：寻找AF、DE所在的三角形，首先证明ΔAFC≌ΔDEB。然后证明AF=DE。
证明：∵EB⊥AD（已知）
∴∠EBD=90°（垂直定义）同理可证∠FCA=90°，
∴∠EBD=∠FCA，
∵ AB=CD， BC=BC，
∴ AC=AB+BC=BC+CD=BD，
在ΔACF和ΔDBE中，
∴ΔACF≌ΔDBE（SAS），
∴AF=DE（全等三角形对应边相等）。
例2，如图，已知AB、CD互相平分于O，过O点引直线与AD、BC分别交于E、F点，求证：AE=BF。
分析：分析证明的思路，我们可以按两个方向进行：
（1）“由因导果”：由已知条件，已经可以证明哪几对三角形全等？由此可以得出哪些线段或角相等？能由此得到求证的结论吗？
在这道例题中，由已知条件，AO=BO，∠AOD=∠BOC，DO=CO，很快可用（SAS）证得△AOD≌△BOC，于是根据全等三角形的性质又可得AD=BC，∠A=∠B，∠D=∠C的结论，考虑到最终证明的结论，从这三个中间结果中选择最有效的转为新的三角形全等的条件：由于AE与BF分别处于△AOE和△BOF之中，于是选择∠A=∠B，作为新的条件，用（ASA）来证明△AOE≌△BOF，再用全等三角形性质得AE=BF。
（11）“由果索因”：根据求证目标，需证哪一对三角形全等；如果条件不够，能通过证另一对三角形全等提供条件吗？
在这道例题中，为了证明AE=BF，由于AE，BF分别在△AOE和△BOF中，可先考虑证明△AOE≌△BOF，已有OA=OB，∠AOE=∠BOF，所缺条件为∠A=∠B或OE=OF，再考虑∠A、∠B又分别在△AOD和△BOC中，看△AOD≌△BOC的条件是否具备，而根据题设证明这一对三角形全等却是很容易完成的。
这两种方法的思考，第一种代表“顺推”思路，而第二种代表“逆推”的思路，但不管哪一种思路，在证明过程的书写时，必须用顺推的方法书写证明。
证明：∵AB、CD互相平分于O（已知）
∴AO=BO，OC=OD（线段中点定义）
在△AOD和△BOC中
∵
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴∠A=∠B（全等三角形对应角相等）
在△AOE和△BOF中
∵
∴△AOE≌△BOF （ASA）
∴AE=BF（全等三角形的对应边相等）
例3，如图，AC、BD相交于E，AC=BD，AB=DC，求证：BE=CE。
分析：为了证明BE=CE，只要证明△ABE≌△DCE，在这两个三角形中，已有AB=DC，∠AEB=∠DEC，已有一角和所对边分别对应相等，还缺少一个条件，只能再寻找一对角的相等条件，很自然使我们将目光转向证明∠A=∠D，或∠B=∠C，如果要证明角等，图中已经不再有现成的全等三角形，结合条件，只需连结AD，辅助线AD成了两个三角形△ABD和△ACD的一条公共边，从题设构成了一对全等三角形；△ACD≌△DBA，由此找到了证明的完整思路。
证明的路线如下：
证明：连结AD。
在△ACD和△DBA中
∵
∴△ACD≌△DBA（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
在△ABE和△DCE中
∵
∴△ABE≌△DCE（AAS）
∴BE=CE（全等三角形对应边相等）
例4，求证：全等三角形的对应角的平分线相等。
分析：首先要分清命题中的题设和结论部分，从形式上看，题目中似乎只有结论部分，不知道题设应该写什么？实际上，任何一个数学命题都是一个完整的叙述，它们都是判断某一件事情的句子，
那么这一句子中必有被判断的对象及判断后得到的结果，那么这个被判断的对象就是命题的条件（题设），结果就是命题的结论。根据这个标准，例题中的题设应该是：两个全等三角形及其对应角的平分线。结论是：对应角的平分线相等。
分清了命题的题设与结论两部分，就可以把命题的内容画成相应的几何图形，以便用简单的符号代替文字叙述。此例题可以这样画图。画出两个全等三角形，△ABC和△A'B'C'，再做出一对对应角∠A∠A'的平分线AD和A'D'。
在画图时必须注意两点：（1）不要画出题中所没有的多余条件。如按本题要求，三角形只能画成任意三角形，而不要画成等腰三角形、等边三角形，以免干扰思维。（2）不忽略题中所指图形应有的性质。两个三角形全等的，就不应画出一大一小，或形状各异的两个三角形。
然后，结合图形，按每一概念的确切叙述写出已知，求证。
已知：△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，求证：AD=A'D'。
证明的路线如下：
证明：∵△ABC≌△A'B'C'（已知）
∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'（全等三角形的对应角相等）
AB=A'B'（全等三角形的对应边相等）
又∵AD、A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线（已知）
∴∠1=∠BAC，∠2=∠B'A'C'（角平分线定义）
∴∠1=∠2（等量之半相等）
在△ABD和△A'B'D'中
∵
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA）
∴AD=A'D'（全等三角形的对应边相等）
例5，求证：两个三角形的两边和第三边的中线对应相等的两个三角形的第三边也相等。
分析：题目的题设是两个三角形中有两边和第三边的中线对应相等，结论是这两个三角形的第三边相等。
已知△ABC和△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，D为BC中点，D'为B'C'中点，且AD=A'D'，求证：BC=B'C'
分析：由题设可知所给的已知条件不在同一个三角形中，要想充分利用
已知条件，就得想办法将这些分散的条件集中在一个三角形中。因为题目中有中线，常常采用作倍长中线的辅助线，这样创造出全等的三角形，再利用全等三角形的性质。这样达到将分散的条件集中在一个三角形中的目的，使问题向着可以解决的方向转化。
证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE，
延长A'D'到E'，使D'E'=A'D'，连结B'E'
∵AD=A'D'(已知)∴DE=D'E'（等量代换）
∵D为BC中点，D'为B'C'中点（已知）
∴BD=DC，B'D'=D'C'（线段中点定义）
在△ACD和△EBD中 在△A'C'D'和△E'B'D'中
∵ ∵
∴△ACD≌△EBD（SAS） ∴△A'C'D'≌△E'B'D'（SAS）
∴AC=BE(全等三角形对应边相等)
∴A'C'=B'E'(全等三角形对应边相等)
∴∠E=∠5(全等三角形对应角等)
∴∠E'=∠6（全等三角形对应角等）
∵AC=A'C'(已知)
∴BE=B'E'(等量代换)
∴2AD=AE，2A'D'=A'E'(等式性质)
∴AE=A'E'(等量代换)
在△ABE和△A'B'E'中
∵
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS)
∴∠7=∠8
∴∠E=∠E'(全等三角形的对应角相等)
又∵∠E=∠E'（已证）∠E=∠5，∠E'=∠6(已证)
∴∠5=∠6（等量代换）
∵∠7=∠8（已证）
∴∠7+∠5=∠8+∠6（等式性质）
即∠BAC=∠B'A'C'
在△BAC和△B'A'C'中
∵
∴△BAC≌△B'A'C' (SAS)
∴BC=B'C'
三、辅助线的做法： 在全等三角形这部分的证明中，已经开始需要添加辅助线，添加辅助线的基本思想就是添加辅助线，构造全等三角形，现在我们介绍一些添加辅助线的方法，供大家学习。
1、按照“中心对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形绕着它的一个顶点旋转180°，得到另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形(或者说，把一个三角形绕着某一个点旋转180°后 ，得到了另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形)．如下列基本图形。
说明：当几何问题中出现两条相等的线段在一组对顶角的两边且成一直线时，就可以添加中心对称型的全等三角形进行证明，添加的方法是过端点作平行线．或者按照上边的例题5的方法，截取相等的线段。
例析：如图，已知ΔABC中，AB＝AC，BD=CF．求证：DE＝EF．
分析一 这个题目要证明的结论是DE=EF．如图所示，这就出现了相等两线段在一组对顶角的两边，而且成一直线，在这种情况下，就可以添加一对中心对称型的全等三角形进行证明。添加的方法是过D作DG//AC，交BC于G，如图所示，那么ΔDGE和ΔFCE就一定是一对中心对称型的全等三角形。要证明这两个三角形全等就应抓住一组边相等的条件，而DE=EF是结论不能用，需要证明另一组边。
已知条件告诉我们CF=BD，所以就应该证明CF和它的对应边DG相等，如图所示，也就是证明DB=DG，而DG//AC，所以∠1=∠2，又已知AB=AC，所以∠2=∠B，因此∠1=∠B，那么DB=DG就可以证明了。
证明一：过D作DG//AC交BC于G。
∵DG//AC
∴∠1=∠2；∠3=∠4
∵AB=AC(三角形ABC为等腰三角形)
∴∠B=∠2
∴∠1=∠B，∴DG=DB=CF
在△DGE、△FCE中
∴△DGE≌△FCE
∴DE=EF
分析二：如下图所示，本题也可以过端点F作FH//AB交BC的延长线于H，补出一对中心对称型全等ΔBDE和ΔHFE。
证明二提示:与上一种证法基本一致,通过证明△EFH≌△EDB来证得DE=EF,注意使用BD//FH,推出角的关系.证明略.
说明：等腰三角形的两底角相等 ，在小学学过，今后还要研究。
2、按照“轴对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形沿着某一条直线翻转后与另一个三角形重合，那么这一对三角形就叫做轴对称型全等三角形。
基本图形：
当几何问题中出现两条相等的线段或两个相等的角关于某一线段或直线成轴对称时，就可以构造轴对称型的全等三角形进行证明。
例析：如图，在正方形ABCD的对角线AC上截取AE=AB，作EF⊥AC交BC于F。求证：EF=FB.
分析：本题目要证明的结论EF=FB。本题目已知中有AE=AB，又有∠AEF=∠B=90°，所以，连接AF构造△AEF、△ABF全等，容易证明。
证明：连接AF，在正方形ABCD中，∠B=90°，
∵ EF⊥AC
∴ ∠AEF=90°
在RT△AEF、RT△ABF中，
AE=AB
AF=AF
∴ RT△AEF≌RT△ABF (HL)
∴EF=BF.
＆一点儿基础题
求证：任何五个连续整数之和都能被5整除
2.已知x.y.z为自然数，且x＜y，当x y=1999,z-x=2000时，求x y z的最大值．
3.17个连续整数的和是306，那么紧接着着17个数后面的17个连续整数的和是多少？
4.99＊998998999－998＊999999998
5.1＋1／3＋1／3的二次方＋＾＾＾＾＋1／3的十次方
6.2／2＋3／4＋4／8＋＾＾＾＾＾＋11／2的十次方
7.已知数－1，－2，－3，1，2，3，4，从中任取两个数作积，任去三个数作积，任去四个数作积，求所有这些积的和．
1.
(n+n+1+n+2+n+3+n+4)/5
=(5n+10)/5
=n+2
2.
xy=1999,
z-x=2000
xyz=1999(2000+x)=3998000+1999x
最大值为3998000+1999*44＝4085956
3.
17n+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16
=17n+(1+16)*16/2
=17n+17*8
=306
n=10
那么这17个数的最后一个数是186，紧接着着17个数后面的17个连续整数的和是17*（187+187+16）/2＝3315
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1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 48定理 四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论 任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=（a+b）÷2 S=L×h 83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） 94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS） 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等 115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角 121①直线L和⊙O相交 d＜r ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d＞r 122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137定理 把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长 142正三角形面积√3a／4 a表示边长 143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 144弧长计算公式：L=n兀R／180 145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2 146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) （还有一些，大家帮补充吧）
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1．如图所示，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB=FC，AB=CD。求证：AF=DE。
分析：寻找AF、DE所在的三角形，首先证明ΔAFC≌ΔDEB。然后证明AF=DE。
证明：∵EB⊥AD（已知）
∴∠EBD=90°（垂直定义）同理可证∠FCA=90°，
∴∠EBD=∠FCA，
∵ AB=CD， BC=BC，
∴ AC=AB+BC=BC+CD=BD，
在ΔACF和ΔDBE中，
∴ΔACF≌ΔDBE（SAS），
∴AF=DE（全等三角形对应边相等）。
例2，如图，已知AB、CD互相平分于O，过O点引直线与AD、BC分别交于E、F点，求证：AE=BF。
分析：分析证明的思路，我们可以按两个方向进行：
（1）“由因导果”：由已知条件，已经可以证明哪几对三角形全等？由此可以得出哪些线段或角相等？能由此得到求证的结论吗？
在这道例题中，由已知条件，AO=BO，∠AOD=∠BOC，DO=CO，很快可用（SAS）证得△AOD≌△BOC，于是根据全等三角形的性质又可得AD=BC，∠A=∠B，∠D=∠C的结论，考虑到最终证明的结论，从这三个中间结果中选择最有效的转为新的三角形全等的条件：由于AE与BF分别处于△AOE和△BOF之中，于是选择∠A=∠B，作为新的条件，用（ASA）来证明△AOE≌△BOF，再用全等三角形性质得AE=BF。
（11）“由果索因”：根据求证目标，需证哪一对三角形全等；如果条件不够，能通过证另一对三角形全等提供条件吗？
在这道例题中，为了证明AE=BF，由于AE，BF分别在△AOE和△BOF中，可先考虑证明△AOE≌△BOF，已有OA=OB，∠AOE=∠BOF，所缺条件为∠A=∠B或OE=OF，再考虑∠A、∠B又分别在△AOD和△BOC中，看△AOD≌△BOC的条件是否具备，而根据题设证明这一对三角形全等却是很容易完成的。
这两种方法的思考，第一种代表“顺推”思路，而第二种代表“逆推”的思路，但不管哪一种思路，在证明过程的书写时，必须用顺推的方法书写证明。
证明：∵AB、CD互相平分于O（已知）
∴AO=BO，OC=OD（线段中点定义）
在△AOD和△BOC中
∵
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴∠A=∠B（全等三角形对应角相等）
在△AOE和△BOF中
∵
∴△AOE≌△BOF （ASA）
∴AE=BF（全等三角形的对应边相等）
例3，如图，AC、BD相交于E，AC=BD，AB=DC，求证：BE=CE。
分析：为了证明BE=CE，只要证明△ABE≌△DCE，在这两个三角形中，已有AB=DC，∠AEB=∠DEC，已有一角和所对边分别对应相等，还缺少一个条件，只能再寻找一对角的相等条件，很自然使我们将目光转向证明∠A=∠D，或∠B=∠C，如果要证明角等，图中已经不再有现成的全等三角形，结合条件，只需连结AD，辅助线AD成了两个三角形△ABD和△ACD的一条公共边，从题设构成了一对全等三角形；△ACD≌△DBA，由此找到了证明的完整思路。
证明的路线如下：
证明：连结AD。
在△ACD和△DBA中
∵
∴△ACD≌△DBA（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
在△ABE和△DCE中
∵
∴△ABE≌△DCE（AAS）
∴BE=CE（全等三角形对应边相等）
例4，求证：全等三角形的对应角的平分线相等。
分析：首先要分清命题中的题设和结论部分，从形式上看，题目中似乎只有结论部分，不知道题设应该写什么？实际上，任何一个数学命题都是一个完整的叙述，它们都是判断某一件事情的句子，
那么这一句子中必有被判断的对象及判断后得到的结果，那么这个被判断的对象就是命题的条件（题设），结果就是命题的结论。根据这个标准，例题中的题设应该是：两个全等三角形及其对应角的平分线。结论是：对应角的平分线相等。
分清了命题的题设与结论两部分，就可以把命题的内容画成相应的几何图形，以便用简单的符号代替文字叙述。此例题可以这样画图。画出两个全等三角形，△ABC和△A'B'C'，再做出一对对应角∠A∠A'的平分线AD和A'D'。
在画图时必须注意两点：（1）不要画出题中所没有的多余条件。如按本题要求，三角形只能画成任意三角形，而不要画成等腰三角形、等边三角形，以免干扰思维。（2）不忽略题中所指图形应有的性质。两个三角形全等的，就不应画出一大一小，或形状各异的两个三角形。
然后，结合图形，按每一概念的确切叙述写出已知，求证。
已知：△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，求证：AD=A'D'。
证明的路线如下：
证明：∵△ABC≌△A'B'C'（已知）
∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'（全等三角形的对应角相等）
AB=A'B'（全等三角形的对应边相等）
又∵AD、A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线（已知）
∴∠1=∠BAC，∠2=∠B'A'C'（角平分线定义）
∴∠1=∠2（等量之半相等）
在△ABD和△A'B'D'中
∵
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA）
∴AD=A'D'（全等三角形的对应边相等）
例5，求证：两个三角形的两边和第三边的中线对应相等的两个三角形的第三边也相等。
分析：题目的题设是两个三角形中有两边和第三边的中线对应相等，结论是这两个三角形的第三边相等。
已知△ABC和△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，D为BC中点，D'为B'C'中点，且AD=A'D'，求证：BC=B'C'
分析：由题设可知所给的已知条件不在同一个三角形中，要想充分利用
已知条件，就得想办法将这些分散的条件集中在一个三角形中。因为题目中有中线，常常采用作倍长中线的辅助线，这样创造出全等的三角形，再利用全等三角形的性质。这样达到将分散的条件集中在一个三角形中的目的，使问题向着可以解决的方向转化。
证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE，
延长A'D'到E'，使D'E'=A'D'，连结B'E'
∵AD=A'D'(已知)∴DE=D'E'（等量代换）
∵D为BC中点，D'为B'C'中点（已知）
∴BD=DC，B'D'=D'C'（线段中点定义）
在△ACD和△EBD中 在△A'C'D'和△E'B'D'中
∵ ∵
∴△ACD≌△EBD（SAS） ∴△A'C'D'≌△E'B'D'（SAS）
∴AC=BE(全等三角形对应边相等)
∴A'C'=B'E'(全等三角形对应边相等)
∴∠E=∠5(全等三角形对应角等)
∴∠E'=∠6（全等三角形对应角等）
∵AC=A'C'(已知)
∴BE=B'E'(等量代换)
∴2AD=AE，2A'D'=A'E'(等式性质)
∴AE=A'E'(等量代换)
在△ABE和△A'B'E'中
∵
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS)
∴∠7=∠8
∴∠E=∠E'(全等三角形的对应角相等)
又∵∠E=∠E'（已证）∠E=∠5，∠E'=∠6(已证)
∴∠5=∠6（等量代换）
∵∠7=∠8（已证）
∴∠7+∠5=∠8+∠6（等式性质）
即∠BAC=∠B'A'C'
在△BAC和△B'A'C'中
∵
∴△BAC≌△B'A'C' (SAS)
∴BC=B'C'
三、辅助线的做法： 在全等三角形这部分的证明中，已经开始需要添加辅助线，添加辅助线的基本思想就是添加辅助线，构造全等三角形，现在我们介绍一些添加辅助线的方法，供大家学习。
1、按照“中心对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形绕着它的一个顶点旋转180°，得到另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形(或者说，把一个三角形绕着某一个点旋转180°后 ，得到了另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形)．如下列基本图形。
说明：当几何问题中出现两条相等的线段在一组对顶角的两边且成一直线时，就可以添加中心对称型的全等三角形进行证明，添加的方法是过端点作平行线．或者按照上边的例题5的方法，截取相等的线段。
例析：如图，已知ΔABC中，AB＝AC，BD=CF．求证：DE＝EF．
分析一 这个题目要证明的结论是DE=EF．如图所示，这就出现了相等两线段在一组对顶角的两边，而且成一直线，在这种情况下，就可以添加一对中心对称型的全等三角形进行证明。添加的方法是过D作DG//AC，交BC于G，如图所示，那么ΔDGE和ΔFCE就一定是一对中心对称型的全等三角形。要证明这两个三角形全等就应抓住一组边相等的条件，而DE=EF是结论不能用，需要证明另一组边。
已知条件告诉我们CF=BD，所以就应该证明CF和它的对应边DG相等，如图所示，也就是证明DB=DG，而DG//AC，所以∠1=∠2，又已知AB=AC，所以∠2=∠B，因此∠1=∠B，那么DB=DG就可以证明了。
证明一：过D作DG//AC交BC于G。
∵DG//AC
∴∠1=∠2；∠3=∠4
∵AB=AC(三角形ABC为等腰三角形)
∴∠B=∠2
∴∠1=∠B，∴DG=DB=CF
在△DGE、△FCE中
∴△DGE≌△FCE
∴DE=EF
分析二：如下图所示，本题也可以过端点F作FH//AB交BC的延长线于H，补出一对中心对称型全等ΔBDE和ΔHFE。
证明二提示:与上一种证法基本一致,通过证明△EFH≌△EDB来证得DE=EF,注意使用BD//FH,推出角的关系.证明略.
说明：等腰三角形的两底角相等 ，在小学学过，今后还要研究。
2、按照“轴对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形沿着某一条直线翻转后与另一个三角形重合，那么这一对三角形就叫做轴对称型全等三角形。
基本图形：
当几何问题中出现两条相等的线段或两个相等的角关于某一线段或直线成轴对称时，就可以构造轴对称型的全等三角形进行证明。
例析：如图，在正方形ABCD的对角线AC上截取AE=AB，作EF⊥AC交BC于F。求证：EF=FB.
分析：本题目要证明的结论EF=FB。本题目已知中有AE=AB，又有∠AEF=∠B=90°，所以，连接AF构造△AEF、△ABF全等，容易证明。
证明：连接AF，在正方形ABCD中，∠B=90°，
∵ EF⊥AC
∴ ∠AEF=90°
在RT△AEF、RT△ABF中，
AE=AB
AF=AF
∴ RT△AEF≌RT△ABF (HL)
∴EF=BF.
分析：寻找AF、DE所在的三角形，首先证明ΔAFC≌ΔDEB。然后证明AF=DE。
证明：∵EB⊥AD（已知）
∴∠EBD=90°（垂直定义）同理可证∠FCA=90°，
∴∠EBD=∠FCA，
∵ AB=CD， BC=BC，
∴ AC=AB+BC=BC+CD=BD，
在ΔACF和ΔDBE中，
∴ΔACF≌ΔDBE（SAS），
∴AF=DE（全等三角形对应边相等）。
例2，如图，已知AB、CD互相平分于O，过O点引直线与AD、BC分别交于E、F点，求证：AE=BF。
分析：分析证明的思路，我们可以按两个方向进行：
（1）“由因导果”：由已知条件，已经可以证明哪几对三角形全等？由此可以得出哪些线段或角相等？能由此得到求证的结论吗？
在这道例题中，由已知条件，AO=BO，∠AOD=∠BOC，DO=CO，很快可用（SAS）证得△AOD≌△BOC，于是根据全等三角形的性质又可得AD=BC，∠A=∠B，∠D=∠C的结论，考虑到最终证明的结论，从这三个中间结果中选择最有效的转为新的三角形全等的条件：由于AE与BF分别处于△AOE和△BOF之中，于是选择∠A=∠B，作为新的条件，用（ASA）来证明△AOE≌△BOF，再用全等三角形性质得AE=BF。
（11）“由果索因”：根据求证目标，需证哪一对三角形全等；如果条件不够，能通过证另一对三角形全等提供条件吗？
在这道例题中，为了证明AE=BF，由于AE，BF分别在△AOE和△BOF中，可先考虑证明△AOE≌△BOF，已有OA=OB，∠AOE=∠BOF，所缺条件为∠A=∠B或OE=OF，再考虑∠A、∠B又分别在△AOD和△BOC中，看△AOD≌△BOC的条件是否具备，而根据题设证明这一对三角形全等却是很容易完成的。
这两种方法的思考，第一种代表“顺推”思路，而第二种代表“逆推”的思路，但不管哪一种思路，在证明过程的书写时，必须用顺推的方法书写证明。
证明：∵AB、CD互相平分于O（已知）
∴AO=BO，OC=OD（线段中点定义）
在△AOD和△BOC中
∵
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴∠A=∠B（全等三角形对应角相等）
在△AOE和△BOF中
∵
∴△AOE≌△BOF （ASA）
∴AE=BF（全等三角形的对应边相等）
例3，如图，AC、BD相交于E，AC=BD，AB=DC，求证：BE=CE。
分析：为了证明BE=CE，只要证明△ABE≌△DCE，在这两个三角形中，已有AB=DC，∠AEB=∠DEC，已有一角和所对边分别对应相等，还缺少一个条件，只能再寻找一对角的相等条件，很自然使我们将目光转向证明∠A=∠D，或∠B=∠C，如果要证明角等，图中已经不再有现成的全等三角形，结合条件，只需连结AD，辅助线AD成了两个三角形△ABD和△ACD的一条公共边，从题设构成了一对全等三角形；△ACD≌△DBA，由此找到了证明的完整思路。
证明的路线如下：
证明：连结AD。
在△ACD和△DBA中
∵
∴△ACD≌△DBA（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
在△ABE和△DCE中
∵
∴△ABE≌△DCE（AAS）
∴BE=CE（全等三角形对应边相等）
例4，求证：全等三角形的对应角的平分线相等。
分析：首先要分清命题中的题设和结论部分，从形式上看，题目中似乎只有结论部分，不知道题设应该写什么？实际上，任何一个数学命题都是一个完整的叙述，它们都是判断某一件事情的句子，
那么这一句子中必有被判断的对象及判断后得到的结果，那么这个被判断的对象就是命题的条件（题设），结果就是命题的结论。根据这个标准，例题中的题设应该是：两个全等三角形及其对应角的平分线。结论是：对应角的平分线相等。
分清了命题的题设与结论两部分，就可以把命题的内容画成相应的几何图形，以便用简单的符号代替文字叙述。此例题可以这样画图。画出两个全等三角形，△ABC和△A'B'C'，再做出一对对应角∠A∠A'的平分线AD和A'D'。
在画图时必须注意两点：（1）不要画出题中所没有的多余条件。如按本题要求，三角形只能画成任意三角形，而不要画成等腰三角形、等边三角形，以免干扰思维。（2）不忽略题中所指图形应有的性质。两个三角形全等的，就不应画出一大一小，或形状各异的两个三角形。
然后，结合图形，按每一概念的确切叙述写出已知，求证。
已知：△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，求证：AD=A'D'。
证明的路线如下：
证明：∵△ABC≌△A'B'C'（已知）
∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'（全等三角形的对应角相等）
AB=A'B'（全等三角形的对应边相等）
又∵AD、A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线（已知）
∴∠1=∠BAC，∠2=∠B'A'C'（角平分线定义）
∴∠1=∠2（等量之半相等）
在△ABD和△A'B'D'中
∵
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA）
∴AD=A'D'（全等三角形的对应边相等）
例5，求证：两个三角形的两边和第三边的中线对应相等的两个三角形的第三边也相等。
分析：题目的题设是两个三角形中有两边和第三边的中线对应相等，结论是这两个三角形的第三边相等。
已知△ABC和△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，D为BC中点，D'为B'C'中点，且AD=A'D'，求证：BC=B'C'
分析：由题设可知所给的已知条件不在同一个三角形中，要想充分利用
已知条件，就得想办法将这些分散的条件集中在一个三角形中。因为题目中有中线，常常采用作倍长中线的辅助线，这样创造出全等的三角形，再利用全等三角形的性质。这样达到将分散的条件集中在一个三角形中的目的，使问题向着可以解决的方向转化。
证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE，
延长A'D'到E'，使D'E'=A'D'，连结B'E'
∵AD=A'D'(已知)∴DE=D'E'（等量代换）
∵D为BC中点，D'为B'C'中点（已知）
∴BD=DC，B'D'=D'C'（线段中点定义）
在△ACD和△EBD中 在△A'C'D'和△E'B'D'中
∵ ∵
∴△ACD≌△EBD（SAS） ∴△A'C'D'≌△E'B'D'（SAS）
∴AC=BE(全等三角形对应边相等)
∴A'C'=B'E'(全等三角形对应边相等)
∴∠E=∠5(全等三角形对应角等)
∴∠E'=∠6（全等三角形对应角等）
∵AC=A'C'(已知)
∴BE=B'E'(等量代换)
∴2AD=AE，2A'D'=A'E'(等式性质)
∴AE=A'E'(等量代换)
在△ABE和△A'B'E'中
∵
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS)
∴∠7=∠8
∴∠E=∠E'(全等三角形的对应角相等)
又∵∠E=∠E'（已证）∠E=∠5，∠E'=∠6(已证)
∴∠5=∠6（等量代换）
∵∠7=∠8（已证）
∴∠7+∠5=∠8+∠6（等式性质）
即∠BAC=∠B'A'C'
在△BAC和△B'A'C'中
∵
∴△BAC≌△B'A'C' (SAS)
∴BC=B'C'
三、辅助线的做法： 在全等三角形这部分的证明中，已经开始需要添加辅助线，添加辅助线的基本思想就是添加辅助线，构造全等三角形，现在我们介绍一些添加辅助线的方法，供大家学习。
1、按照“中心对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形绕着它的一个顶点旋转180°，得到另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形(或者说，把一个三角形绕着某一个点旋转180°后 ，得到了另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形)．如下列基本图形。
说明：当几何问题中出现两条相等的线段在一组对顶角的两边且成一直线时，就可以添加中心对称型的全等三角形进行证明，添加的方法是过端点作平行线．或者按照上边的例题5的方法，截取相等的线段。
例析：如图，已知ΔABC中，AB＝AC，BD=CF．求证：DE＝EF．
分析一 这个题目要证明的结论是DE=EF．如图所示，这就出现了相等两线段在一组对顶角的两边，而且成一直线，在这种情况下，就可以添加一对中心对称型的全等三角形进行证明。添加的方法是过D作DG//AC，交BC于G，如图所示，那么ΔDGE和ΔFCE就一定是一对中心对称型的全等三角形。要证明这两个三角形全等就应抓住一组边相等的条件，而DE=EF是结论不能用，需要证明另一组边。
已知条件告诉我们CF=BD，所以就应该证明CF和它的对应边DG相等，如图所示，也就是证明DB=DG，而DG//AC，所以∠1=∠2，又已知AB=AC，所以∠2=∠B，因此∠1=∠B，那么DB=DG就可以证明了。
证明一：过D作DG//AC交BC于G。
∵DG//AC
∴∠1=∠2；∠3=∠4
∵AB=AC(三角形ABC为等腰三角形)
∴∠B=∠2
∴∠1=∠B，∴DG=DB=CF
在△DGE、△FCE中
∴△DGE≌△FCE
∴DE=EF
分析二：如下图所示，本题也可以过端点F作FH//AB交BC的延长线于H，补出一对中心对称型全等ΔBDE和ΔHFE。
证明二提示:与上一种证法基本一致,通过证明△EFH≌△EDB来证得DE=EF,注意使用BD//FH,推出角的关系.证明略.
说明：等腰三角形的两底角相等 ，在小学学过，今后还要研究。
2、按照“轴对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形沿着某一条直线翻转后与另一个三角形重合，那么这一对三角形就叫做轴对称型全等三角形。
基本图形：
当几何问题中出现两条相等的线段或两个相等的角关于某一线段或直线成轴对称时，就可以构造轴对称型的全等三角形进行证明。
例析：如图，在正方形ABCD的对角线AC上截取AE=AB，作EF⊥AC交BC于F。求证：EF=FB.
分析：本题目要证明的结论EF=FB。本题目已知中有AE=AB，又有∠AEF=∠B=90°，所以，连接AF构造△AEF、△ABF全等，容易证明。
证明：连接AF，在正方形ABCD中，∠B=90°，
∵ EF⊥AC
∴ ∠AEF=90°
在RT△AEF、RT△ABF中，
AE=AB
AF=AF
∴ RT△AEF≌RT△ABF (HL)
∴EF=BF.
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你基础题懂，但是你不会利用基础知识，所有难题其实你认真一看，都是基础题的综合，只是你做题的时候没思路，想不到要用那个知识点去解这题目，所以你大题犯难，到初2时候我也是这样，提高大题的解答我认为上课一定认真听讲，见到大题不要没看题目就慌了，认为自己没信心做，所以，见到大题不要怕，不要害怕浪费时间：浪费时间指的是即便是一道难题，你解之后认为这题你不懂就不做或者你做了半天没做出来就不做，这样是不对的，花2小时，3小时也要搞它出来。
题海战术一定不行，换个题目你还是不懂，关键是要有思路，培养思路做题也是要的，网上很多。做完题目后要复习，你刚做完很懂，但过几天肯定忘，所以要复习。
初3的2次函数大题更难，现在得抓紧才行
以上全部自己经验，希望对你有帮助
题海战术一定不行，换个题目你还是不懂，关键是要有思路，培养思路做题也是要的，网上很多。做完题目后要复习，你刚做完很懂，但过几天肯定忘，所以要复习。
初3的2次函数大题更难，现在得抓紧才行
以上全部自己经验，希望对你有帮助
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