Question

如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线，求证AE=EF（证明

思路；取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF）
①如图二，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（出B、C外）的任意一个点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如不成立，请说明理由。
②如图三，点E是在BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如不成立，请说明理由
(没图呀)

Answer 1

（1）证明：取AB中点M，连接EM，
∵AB=BC，E为BC中点，M为AB中点，
∴AM=CE=BE，
∴∠BME=∠BME=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AME和△ECF中

∠MAE＝∠CEF    

AM＝EC    

∠AME＝∠ECF    

   

，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）解：成立，
理由是：在AB上截取BM=BE，连接ME，
∵∠B=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵AB=BC，BM=BE，
∴AM=EC，
在△AME和△ECF中

∠MAE＝∠CEF    

AM＝EC    

∠AME＝∠ECF    

   

，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．

（3）如图3：AE=EF，理由为：
证明：延长AB到M，使AM=CE，连接ME，
∵AM=CE，AB=BC，
∴AM-AB=CE-BC，即BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠BME=∠ECF=45°，
又∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠MAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠MAE=∠CEF，
在△MAE和△CEF中，

∠BME＝∠ECF    

AM＝CE    

∠MAE＝∠CEF    

   

，
∴△MAE≌△CEF（ASA），
∴AE=EF．