Question

已知函数f(x)=x+2/x，判断f(x)的奇偶性，并证明函数f(x)在[根号2，+&)内是增函数。

急！

Answer 1

f(x)=x+2/x,
f(-x)=-x-2/x=-f(x),
定义域为(-oo,0)U(0,+oo)
关于原点对称
所以函数为奇函数
f(x)在[√2，∞﹚上单调递增
任取x2>x1≥√2
f(x2)-f(x1)
=x2+2/x2-x1-2/x1
=x2-x1+2/x2-2/x1
=x2-x1+(2x1-2x2)/x1x2
=(x2-x1)-2(x2-x1)/x1x2
=(x2-x1)(1-2/x1x2)
因为x2>x1≥√2
所以x2-x1>0
x1x2>2
0<2/x1x2<1
所以1-2/x1x2>0
所以f(x2)-f(x1)>0
所以f(x)在[√2，∞﹚上单调递增

Answer 2

f(-x)=-x-2/x=-f(x)

且定义域是关于原点对称,则有函数是奇函数.
证明:设x1>x2>=根号2
f(x1)-f(x2)=x1-x2+2/x1-2/x2=(x1-x2)+(2(x2-x1)/(x1x2))=(x1-x2)[1-2/(x1x2)]
由于x1-x2>0,x1x2>2,故2/(x1x2)<1
即有f(x1)-f(x2)>0
即函数在[根号2,+OO)上是增函数

Answer 3

先取两个互为相反数的特值找规律 如分别取x=1和-1 代入得3和-3 所以是奇函数（需检验）
或者直接证f(x)=-f(-x)

证单调性只需求导 f‘(x)=1-2/x²
当x≥√2时 f’(x)≥0恒成立 所以函数f(x)在[√2，+∞）单调增

不求导的话 就任取 √2≤x1≤x2
f(x2)-f(x1)=(x2)+2/(x2)-(x1)-2/(x1)
=(x2-x1)+(2/x2-2/x1)
=(x2-x1)+2(x1-x2)/x1x2
=(x2-x1)[1-2/(x1x2)]
∵√2≤x1≤x2 ∴1-2/(x1x2)≥0 x2-x1≥0
∴f(x2)-f(x1)≥0恒成立 ∴函数f(x)在[√2，+∞）单调增

Answer 4

F(X)=X+2/X
F(-X)=-X-2/X
F(x)+F(-X)=X+2/X-X-2/X=0
所以F(X)=X+2/X为偶函数
F(X)=(X^2+2)/X
当X^2+2单调递增时，F(X)单调递减
当X^2+2单调递减时，F(X)单调递增
在根号2到正无穷区间内，X^2+2单调递减，所以F(x)为增