Question

已知数列{An}满足A1=1,A2=3,A(n+2)=3A(n+1)-2An,求an的通项公式

Answer 1

a1=1，a2=3，a(n+2)=3a(n+1)-2an。
法一：待定系数法。
设待定系数s、t，使a（n+2）-sa（n+1）=t（a（n+1）-san）。
整理得a（n+2）=（s+t）a（n+1）-stan。
对比原式，得s+t=3，st=2.
解得s=1，t=2或s=2，t=1.
用后一组解，有a（n+2）-2a（n+1)=a(n+1)-2an,a2-2a1=1.
∴数列{a（n+1）-2an}是首项a2-2a1=1，公比q=1的等比数列。
∴a（n+1）-2an=a2-2a1=1，故a（n+1）=2an+1.
则a（n+1）+1=2（an+1），a1+1=2.
∴数列{an+1}是首项a1+1=2，公比q=2的等比数列。
∴an+1=（a1+1）×qⁿ⁻¹=2ⁿ
∴an=2ⁿ-1.
综上，数列{an}的通项公式为an=2ⁿ-1.

法二：数学归纳法。
a1=1，a2=3.
猜想an=2ⁿ-1.
①当n=1、2时，猜想显然成立。
②假设当n=k、k+1时结论成立，则有ak=2^k-1，a（k+1）=2^（k+1）-1.
③当n=k+2时：
a（k+2）=3a（k+1）-2ak
=3×2^（k+1）-3-2×2^k+2
=2×2^（k+1）-1
=2^（k+2）-1.
显然，n=k+2时结论也成立。
综上，由①、②、③得对任意n∈N*，an=2ⁿ-1.

法三：特征方程法。
a（n+2）=3a（n+1）-2an
其特征方程为x^2=3x-2，解得x1=1，x2=2.
从而an=c₁x1ⁿ+c₂x2ⁿ=c₁+c₂×2ⁿ.
代入a1、a2的值，得c1+2c2=1，c1+4c2=3.
解得c1=-1，c2=1，故an=2ⁿ-1.
综上，数列{an}的通项公式为an=2ⁿ-1.

Answer 2

a(n+2) = 3a(n+1) -2an
a(n+2) - 2a(n+1) = a(n+1) -2an
= a2- 2a1
=1
an - 2a(n-1) =1
an +1 = 2(a(n-1) +1 )
= 2^(n-2) . ( a2 +1)
= 2^n
an = -1+ 2^n

追问

这步是怎么来的？

追答

an +1 = 2(a(n-1) +1 )
{an + 1} 是等比数列，q=2

an +1 = 2^(n-2) . ( a2 +1)