Question

已知圆O半径为1,PA,PB为该圆两条切线,A,B为切点,求向量pa*pb最小值

网上已有很多介绍正确做法
求问若设角APB=2α
则向量PA*PB=（1/tan²α）*cos2α=（cos²α/sin²α）*（cos²α-sin²α）=[（cos²α-½sin²α）² -¼sin四次方α）]/sin²α≥）-¼sin四次方α
当且仅当cos²α=½sin²α，即tan²α=2时有最小值
此时PA的模为（根号2）/2，则sin²α=2/3
则（向量PA*PB）min= -1/6

Answer 1

你确定你的是正确做法？
令∠AOP=α，令弦AB与OP的交点为C
PA=OA-OP，PB=OB-OP
则：PA·PB=(OA-OP)·(OB-OP)
=OA·OB+|OP|^2-OP·(OA+OB)
=cos(2α)+1/cosα^2-(1/cosα)*2|OC|
=2cosα^2-1+1/cosα^2-(2/cosα)cosα
=2cosα^2+1/cosα^2-3
≥2√2-3
等号成立的条件：cosα=√(√2/2)
即PA·PB的最小值：2√2-3

追问

呃 我是想问我这个方法错在什么地方。。

追答

是吧，好的，一会帮你看一下
你这样做，只考虑了分子，并没有考虑分母
这样的情况，一般会用到导数，判别式等方法