Question

设0小于等于x小于等于2，求函数y=4的（x-0.5）次方-a×2的x次方 a的平方／2 1，求最值。

y=4的（x-0.5）次方-a×2的x次方+a的平方／2+1
=4^x*4^(-0.5)-a*2^x+a^2/2+1
=2^2x/2-a*2^x+a^2/2+1

当0≤x≤2时
1≤x≤2^2=4

设2^x=t 2^2x=t^2
y=2^2x/2-a*2^x+a^2/2+1
=t^2/2-a*t+a^2/2+1
=1/2(t^2-2at+a^2)+1
=1/2(t-a)^2+1

当a<1时，
t=1函数取得最小值，即x=0 ymin=3/2-a+a^2/2
t=4函数确定最大值，即x=2 ymax=9-4a+a^2/2

当1≤t≤5/2
t=a函数取得最小值，即x=log2(a) ymin=1
t=4函数确定最大值，即x=2 ymax=9-4a+a^2/2

当5/2≤t≤4
t=a函数取得最小值，即x=log2(a) ymin=1
t=1函数确定最大值，即x=0 ymin=3/2-a+a^2/2

当a>4时，
t=4函数确定最小值，即x=2 ymax=9-4a+a^2/2
t=1函数取得最大值，即x=0 ymin=3/2-a+a^2/2

a的讨论范围为什么这么分？

Answer 1

你好

y=2^2x/2-a*2^x+a^2/2+1
=1/2（2^x-a）^2+1
令2^x-a=t
y=1/2t^2+1
当t≥0时，函数单调递增，当t≤0时，函数单调递减
0≤x≤2
1≤2^x≤4
t=2^x-a
当a≤1时，t≥0，函数单调递增极值点为两个端点
ymin=y（0）=1/2（1-a）^2+1=a^2/2-a+3/2
ymax=y（2）=1/2（4-a）^2+1=a^2/2-4a+9
当a≥4时，t≤0时，函数单调递减

追答

ymax=y（0）=1/2（1-a）^2+1=a^2/2-a+3/2
ymin=y（2）=1/2（4-a）^2+1=a^2/2-4a+9
当1≤a≤4时，【t可能出现大于，等于或者小于0的三种，这个时候极小值就是2^x-a=0的点，而极大值要比较y（0）和y（2）的大小】
t=0即2^x=a时，函数有最小值ymin=y（a）=1
t≠0时，

y（0）=a^2/2-a+3/2
y（2）=a^2/2-4a+9
a^2/2-a+3/2≥a^2/2-4a+9
3a≥15/2
a≥5/2
即5/2≤a≤4时，y（0）≥y（2），函数有最大值y（0）=a^2/2-a+3/2
同理1≤a≤5/2时，y（0）≤y（2），函数有最大值y（2）=a^2/2-4a+9

评：

做这个题你把他当成二次函数来解就好了，当0≤x≤2时，为二次函数的一段，这样就要看这一段位于二次函数图像的哪一个位置
当0≤x≤2时位于单调递减区间时，最大值就是y（0），最小值就是y（2）
当0≤x≤2时位于单调递增区间时，最大值就是y（2），最小值就是y（0）
当0≤x≤2时，有一部分单调递减，有一部分单调递增时，函数中间有极值，如题2^x=a时，函数有最小值1，最大值要比较y（0）和y（2）的大小

不理解请追问，希望对你有帮助