Question

数学证明的概念

Answer 1

数学上的证明包括两个不同的概念。首先是非形式化的证明：一种用来说服听众或读者接受某个定理或论断的严密的自然语言表达式。由于这种证明依赖于证明者所使用的语言，因此证明的严密性将取决于语言本身以及听众或读者对语言的理解。非形式化证明出现在大多数的应用场合中，例如科普讲座、口头辩论、初等教育或高等教育的某些部分。有时候非形式化的证明被称作“正式的”，因为其中的论证严谨，理据充足，但数理逻辑学家使用“正式的”证明时指的是另一种完全不同的证明——形式化证明。
在数理逻辑中，形式化证明并不是以自然语言书写，而是以形式化的语言书写：这种语言是由一个固定的字母表中的字符所构成的字符串组成的。而证明则是以形式化语言表达的有限长度的序列。这种定义使得形式化证明不具有任何逻辑上的模糊之处。研究证明的形式化和公理化的理论称为证明论。尽管理论上来说，每个非形式化的证明都可以转为形式化证明，但实际中很少需要用到。对形式化证明的研究主要应用在广泛意义上上可证明性的性质，或说明某些陈述的不可证明性等等。 证明的对象是指单独概念和普遍概念，单独概念是指独一无二的概念，例如“上海”。“偶素数”只有一个“2”，属于单独概念。
普遍概念对一个以上成员，例如“偶数”，普遍概念每一个个体全部必然地具有这个概念的基本属性，所以，证明的对象产生的定理主要对普遍概念而言。例如， “工人”是一个普遍概念，无论“中国工人”“德国工人”，“石油工人”“钢铁工人”全部具有“工人”的基本属性。
还要说明的是“集合概念”，是指一个集合体，集合体中的个体，不是必然具有集合体的基本属性，所以对集合概念的证明必须使用完全归纳法，对每一个个体逐一证明。 严格说，对集合概念不叫“证明”，只是归纳。（参见任何一本【逻辑学】）。