Question

如果方程x平方+px+q＝0的两个根是x1,x2,,那么x1+x2＝-p,x1x2＝q,

请根据以上结论解决下列问题
1.已知关于x的方程x平方+mx+n＝0(n≠0),求出一个一元二次方程使它的两个根分别是已知方程两根的倒数。
2.已知a,b满足a平方-15a-5＝0.b平方-15b-5＝0,求a/b+b/a的值。
3.已知a,bc满足a+b+c＝0,abc＝16,求正数c的最小值。

Answer 1

1。已知关于x的方程x²+mx+n＝0(n≠0),求出一个一元二次方程使它的两个根分别是已知方程两根的倒数。
解：设方程x²+mx+n＝0(n≠0)的二根为x₁和x₂；则x₁+x₂=-m；x₁x₂=n；
那么所求方程的二根为1/x₁和1/x₂；于是1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/x₁x₂=-m/n；
(1/x₁)(1/x₂)=1/n；故所求方程为x²+(m/n)x+1/n=0.
2。已知a,b满足a²-15a-5＝0，b²-15b-5＝0,求a/b+b/a的值。
解：a，b是方程x²-15x-5=0的二根；故a+b=15；ab=-5；
∴a/b+b/a=(a²+b²)/ab=[(a+b)²-2ab]/ab=(15²+10)/(-5)=-235/5=-47.
3.已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝16；求正数c的最小值
解：a+b=-c，ab=16/c，故a，b是二次方程x²+cx+16/c=0的二根，其判别式Δ=c²-64/c=(c³-64)/c≧0
因为c>0，故得c³-64≧0；∴c≧4，即c的最小值为4.