Question

求函数y=|sinx|+|cos2x|（x包含于R）的最大值和最小值

我不明白为什么令sinx=t后，t的取值范围是0≤t≤（根号2）/2

Answer 1

y=|sinx|+|cos2x|
=|sinx|+|1-2sin²x|
令sinx=t
y=|t|+|1-2t²|
当 1-2t²≧0 即 -√2/2≤t≤√2/2
(1) -√2/2≤t<0时
y=-t+1-2t²
=-2t²-t+1=-2(t+1/4)²+9/8
当 t=-1/4时有最大值 y=9/8
当 t=-√2/2时有最小值 y=√2/2
(2) 0≤t≤√2/2时
y=-t+1-2t²
=-2t²-t+1=-2(t+1/4)²+9/8
当 t=0时有最大值 y=1
当 t=√2/2时有最小值 y=-√2/2
当 1-2t²<0 即 √2/2<t≦1 或 -1≦t<-√2/2
(1) √2/2<t≦1时
y=-t+1+2t²
=2t²-t+1=2(t-1/4)²+7/8
当 t=1时有最大值 y=2
(2) -1≤t<-√2/2时
y=-t+1+2t²
=2t²-t+1=2(t-1/4)²+9/8
当 t=-1时有最大值 y=4

Answer 2

你好

解：

y=|sinx|+|cos2x|=|sinx|+|1-2sin²x|
当-1≤sinx≤-√2/2时
y=-sinx+2sin²x-1=2（sinx-1/4）²-2*1/4²-1=2（sinx-1/4）²-9/8
当sinx=-1时，有最大值ymax=2，
当sinx=-√2/2时，有最小值ymin=√2/2，
当-√2/2≤sinx≤0时
y=-sinx+1-2sin²x=-2（sinx+1/4）²+9/8
当sinx=-1/4时，有最大值ymax=9/8，
当sinx=-√2/2时，有最小值ymin=√2/2，
当0≤sinx≤√2/2时
y=sinx+1-2sin²x=-2（sinx-1/4）²+9/8
当sinx=1/4时，有最大值ymax=9/8，
当sinx=√2/2时，有最小值ymin=√2/2，
当√2/2≤sinx≤1时
y=sinx+2sin²x-1=2（sinx+1/4）²-9/8
当sinx=1时，有最大值ymax=2，
当sinx=√2/2时，有最小值ymin=√2/2，

综合可得函数y=|sinx|+|cos2x|的最大值ymax=2,最小值ymin=√2/2

Answer 3

cos2x=1-2sin²x=1-2t² 又1-2t²≥0 解出来就是0≤t≤（√2）/2