Question

设a为实数,函数f(x)=x^2+丨x-a丨+1,x∈R，求f(x)的最小值

讲解加运算

Answer 1

设a为实数，函数f（x）=x²+｜x-a｜+1，x∈R （1）讨论f（x）的奇偶性；（2）若x≥a，求f（x）的最小值

解：(1)当a=0时f(x)=x²+｜x｜+1是偶函数；当a≠0时f(x)=x²+｜x-a｜+1是非奇非偶的函数。

（2）∵x≧a，∴f(x)=x²+x-a+1=(x+1/2)²-1/4-a+1=(x+1/2)²+(3-4a)/4≧(3-4a)/4

即f(x)的最小值为(3-4a)/4

其图像是一条开口朝上的抛物线，顶点坐标为(-1/2，(3-4a)/4)；故在区间(-∞，-1/2]单调减；在区间

[-1/2，+∞)内单调增。

a为什么要和1/2作比较，还有那个单调区间是怎么求的？要明白此问题，你就看看下面的图。