Question

已知函数f(x)对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f（x）＞0。

①、求证f（x）为增函数；
②、f（2）=1，解不等式f（x²-x-2）＞2.

Answer 1

1. f（x-x）=f（x）+f（-x）  f（0）=f（0）+f（0） f（0）=0    所以为奇函数
   

令x2>x1   所以f（x2）-f（x1） = f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）  因为 x2>X1  所以x2-x1>0  所以f（x2-x1）>0    所以f（x2）-f（x1）>0 所以为增函数

  2.所以2=2f（2）=f（2）+f（2） =f（4）   因为为增函数 所以x²-x-2>4  解之得  x<-2 或x>3

Answer 2

（1）任意取x1,x2，且x1>x2
设x1=a+x2，则a一定为正数,由此知f(a）>0
f(x1)=f(a+x2)=f(a)+f(x2)
因为f(a）>0
所以f(a)+f(x2)>f(x2)，即f(x1)>f(x2)
所以f（x）为增函数
（2）f(2)+f(2)=f(4)=2
f（x²-x-2）>f(4)
因为f（x）为增函数
所以解不等式x²-x-2>4即可，
x²-x-6>0。
（x-3)(x+2）>0
解得 x<-2 或x>3