Question

求解！求极限。

求解！求极限。高数

Answer 1

lim(x->0) [√(1+tanx) -√(1+sinx)]/[x.√(1+(sinx)^2) -x ]
=lim(x->0)(tanx-sinx)/[x.√(1+(sinx)^2) -x ]. lim(x->0) 1/ [√(1+tanx)+√(1+sinx)]
=(1/2)lim(x->0) (tanx-sinx)/[x.√(1+(sinx)^2) -x ]

x->0
tanx~ x + (1/3)x^3
sinx ~ x- (1/6)x^3
tanx - sinx ~ (1/2)x^3

sinx ~ x
(sinx)^2 ~ x^2
√(1+(sinx)^2) ~ √(1+x^2) ~ 1 +(1/2)x^2
x.√(1+(sinx)^2) ~ x +(1/2)x^3
x.√(1+(sinx)^2)-x ~ (1/2)x^3

lim(x->0) [√(1+tanx) -√(1+sinx)]/[x.√(1+(sinx)^2) -x ]
=(1/2)lim(x->0) (tanx-sinx)/[x.√(1+(sinx)^2) -x ]
=(1/2)lim(x->0) [(1/2)x^3]/[(1/2)x^3]
=1/2

追问

请问一下，tanx~x+1/3x^3和sinx~x-1/6x^3是为什么？

不是只有tanx~sinx~x吗？

追答

By Taylor's expansion
f(x) = f(0)+ [f'(0)/1!]x + [f'(0)/2!]x^2 +....

sinx = x - (1/6)x^3 +....
有无穷项
tanx = x +(1/3)x^3 +....
有无穷项

用等价无穷小， 一定要出现第一个不为0 的 x^n

e.g
lim(x->0) (sinx - tanx)/x^3
分子 : sinx - tanx
分母 : x^3

如分子， 只单单简化到 x 项
sinx - tanx ~ x-x =0
没有出现第一个不为0 的 x^n
该
tanx~ x + (1/3)x^3
sinx ~ x- (1/6)x^3
sinx -tanx ~ -(1/2)x^3

lim(x->0) (sinx - tanx)/x^3
=lim(x->0) （-1/2)x^3/x^3
=-1/2

检验
lim(x->0) (sinx - tanx)/x^3 (0/0)
=lim(x->0) (cosx - (secx)^2 )/(3x^2) (0/0)
=lim(x->0) (-sinx - 2(secx)^2. tanx )/(6x)
=(1/6) lim(x->0) [ -sinx/x - 2(secx)^2. tanx/x ]
= (1/6) ( -1 -2)
=-1/2

追问

谢谢

Answer 2

洛必达法则

追问

这样吗？？后面不知道要怎么算

Answer 3

哈哈哈，努力吧骚年