Question

在△ABC中,AB=4,BC=6,∠ACB=30°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1。

如图，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，写出线段EP1长度的最大值与最小值；

Answer 1

由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1
∴∠CC1B=∠C1CB=45°

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．

过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，

在Rt△BDC中，∠ACB=45°

那么∠DBC=45°，BD=DC

∴根据勾股定理：BD²+DC²=BC²

2BD²=5²，BD=5√2/2
(1)当P在AC上运动，BP与AB垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1-BE=BD-BE=5√2/2-2

(2)当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7