Question

在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A1BC1.

设A1C1与AC交于点D.
（1）试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；
（2）试判断线段DA1与DC是否相等，并说明理由。

Answer 1

（1）EA1=FC
因为AB=BC,∠ABC=120°，所以∠A=∠C=∠A1=∠C1=30°；又∠ABA1=∠CBC1=α
，所以△ABE全等于△C1BF，所以BE=BF，所以EA1=FC。
（2）菱形
∠A=∠C1=30°，∠ABC1=∠ABC=120°+α=150°，所以∠ABC1+∠C1=180°，所以AB平行于DC1，同理BC1平行于AD，所以BC1DA为平行四边形。又因为AB=BC=BC1，所以BC1DA为平行四边形为菱形。
（3）由（2）易证△ABE相似于△A1ED。A1D/AB=DE/AE。
△ABC中，AB=BC,∠ABC=120°，所以∠A=∠C=∠A1=∠C1=30°，过B作AC的垂线，根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理易得AC=A1C1=2倍根号3。A1D=2倍根号3-2

，AE=2-DE，，AB=2，代入等式A1D/AB=DE/AE，可算出DE=（6-2倍根号3）/3

Answer 2

（1）已知，在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°
得,∠CAB=∠ACB=(180°-120°)/2
=30°
由旋转30°得:∠ABA1=30°，AB=BC=BC1
可得AB//A1C1 ∠DAB=∠DC1B
连接点B、D作辅助线
得全等于△C1BD
得AD=C1D
所以四边形BC1DA为对边平行且相等的平行四边形
（2）由（1）解答可得∠ADC1=120°+30°=150°
再可得∠A1DA=180°-150°=30°
因此△A1DE为等腰三角形
同理△CDF为等腰三角形
因AB=BC1
所以DA1=DC