Question

∫√5-4x-x² dx 求赐教

Answer 1

∫√(5-4x-x²)dx

=∫√[9-(x²+4x+4)]dx

=9∫√[1-(⅓x-⅔)²]d(⅓x-⅔)

令⅓x-⅔=sint

∫√(5-4x-x²)dx

=9∫√(1-sin²t)d(sint)

=9∫cos²tdt

=(9/2)∫(1+cos2t)dt

=(9/2)∫dt+(9/4)∫cos2td(2t)

=(9/2)t +(9/4)sin2t +C

=(9/2)arcsin(⅓x-⅔)+(9/2)(⅓x-⅔)√[1-(⅓x-⅔)²] +C

=(9/2)arcsin(⅓x-⅔)+(1/6)(x-2)√(5-4x-x²) +C

扩展资料：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

求不定积分的方法：

1、换元积分法：

可分为第一类换元法与第二类换元法。

第一类换元法（即凑微分法）

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。

2、分部积分法

公式：∫udv=uv-∫vdu

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

Answer 2

解：
∫√(5-4x-x²)dx
=∫√[9-(x²+4x+4)]dx
=9∫√[1-(⅓x-⅔)²]d(⅓x-⅔)
令⅓x-⅔=sint
∫√(5-4x-x²)dx
=9∫√(1-sin²t)d(sint)
=9∫cos²tdt
=(9/2)∫(1+cos2t)dt
=(9/2)∫dt+(9/4)∫cos2td(2t)
=(9/2)t +(9/4)sin2t +C
=(9/2)arcsin(⅓x-⅔)+(9/2)(⅓x-⅔)√[1-(⅓x-⅔)²] +C
=(9/2)arcsin(⅓x-⅔)+(1/6)(x-2)√(5-4x-x²) +C